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\lhead{18. Oktober 2004}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 1}

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\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\begin{document}

\section*{§1 Das Riemann-Integral auf Quadern im $\mathds{R}^{n}$}

\subsubsection*{\underline{Def. 1}}
\textbf{(a)} $a=(a_1,a_2,\ldots,a_n),b=(b_1,b_2,\ldots,b_n)\;$ 
	$a_i\leq{b_i}\;\forall{i}$\\
	\hspace*{0.6cm} $Q=Q(a,b):=\left\{x\in\mathds{R}^{n}\;{|}\;{a}_i\leq{x_i}\leq{b_i}\:\forall{i}\right\}$ 
	(abg.) Quader im $\mathds{R}^{n}$.\\
	\hspace*{0.6cm} $\mathring{Q}\:{=}\mathring{Q}{(a,b)}:=
	\left\{x\in\mathds{R}^{n}\;{|}\;{a}_i<{x_i}<{b_i}\:\forall{i}\right\}$ 
	(offener) Quader im $\mathds{R}^{n}$.\\
	\hspace{1cm}\\
\textbf{(b)} Eine Menge $P$=$\left\{Q_1,\ldots,Q_m\right\}$ von Quadern im $\mathds{R}^{n}$ heißt \underline{Partition}
	des Quaders Q,\\
	\hspace*{0.6cm} wenn gilt:
\begin{itemize}
	\item $Q=\bigcup\limits_{i=1}^{m}{Q}_i$
	\item $\mathring{Q_i}\cap\mathring{Q_j}=\emptyset\;\forall{i}\neq{j}$
\end{itemize}
	\hspace{1cm}\\
\textbf{(c)} Eine Partition $P'=\left\{Q'_{1},\ldots,Q'_{l}\right\}$ von Q heißt 
	\underline{Verfeinerung} von P, wenn gilt:\\
	\hspace*{0.6cm} Für jedes $Q'_\nu\in{P'}\ \exists\:{Q}\mu\in{P}$ mit $Q'_\nu\subset{Q\mu}$\\
	\hspace{1cm}\\
\textbf{(d)} Sei $\delta{(Q_k)}$ der Durchmesser von $Q_k$, so heißt
	\[
	\varphi{(P)}:=\max\limits_{1\leq{k}\leq{m}}\delta{(Q_k)}
	\]
	Die \underline{Feinheit} der Partition $P$ von $Q$.\\
	Es gilt: Ist $P'$ Verfeinerung von $P$, so ist $\varphi{(P')}\leq\varphi{(P)}$.\\
	\hspace{1cm}\\
	Sei $Q=Q(a,b)$ Quader.\\
	\underline{Volumen} von Q: $\mu{(Q)}:=\prod\limits_{i=1}^{n}{(b_i-a_i)}$\\
	Es gilt: Ist $P=\left\{Q_1,\ldots,Q_m\right\}$ eine Partition von Q, so ist:
	\[
	\mu{(Q)}=\sum\limits_{i=1}^{m}\mu{(Q_i)}
	\]
\subsubsection*{\underline{Def. 2}}
	Sei Q Quader in $\mathds{R}^n$ und $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ beschränkt.\\
	Sei $P=\left\{Q_1,\ldots,Q_m\right\}$ Partition von Q.\\
	\underline{Untersumme} von f bzgl. P:
	\[
	\underline{S}_P(f):=\sum\limits_{i=1}^{m}\inf\limits_{x\in{Q}_i}f(x)\:\mu{(Q_i)}
	\]
	\underline{Obersumme} von f bzgl. P:
	\[
	\overline{S}_P(f):=\sum\limits_{i=1}^{m}\sup\limits_{x\in{Q}_i}f(x)\:\mu{(Q_i)}
	\]
	Es gilt: $\underline{S}_P(f)\leq{\overline{S}_P(f)}$\\
\subsubsection*{\underline{Lemma 1}}
	Sei $P'$ Verfeinerung von P $\Rightarrow$
\begin{eqnarray}
	\overline{S}_{P'}(f)\leq\overline{S}_P(f)\\
	\underline{S}_{P'}(f)\geq\underline{S}_P(f)
\end{eqnarray}
	\underline{Beweis} : klar.\begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright}
\subsubsection*{\underline{Korollar 1}}
	Für je zwei Partitionen $P_1$ und $P_2$ von Q gilt: $\underline{S}_{P_1}(f)\leq\overline{S}_{P_2}(f)$.\\
	\underline{Beweis} : Sei $P_3$ eine gemeinsame Verfeinerung von $P_1$ und $P_2$ $\Rightarrow$
\begin{center}
	$\underline{S}_{P_2}(f)\leq\underline{S}_{P_3}(f)$ (Nach Lemma 1)\\
	$\underline{S}_{P_3}(f)\leq\overline{S}_{P_3}(f)$ (offensichtlich)\\
	$\overline{S}_{P_3}(f)\leq\overline{S}_{P_1}(f)$ (Nach Lemma 1)\\
	$\Rightarrow$ $\underline{S}_{P_2}(f)\leq\overline{S}_{P_1}(f)$
\end{center}
	\begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright}
\subsubsection*{\underline{Def. 3}}
	Sei Q abg. Quader im $\mathds{R}^n$, $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ beschränkt.\\
	\hspace{1cm}\\
	\underline{Unteres} Riemann-Intagral von f: 
	$\int\limits_{Q}{\!}_{*}{f}(x)dx:=\sup\limits_{P=Part.\:{von}\:{Q}}\underline{S}_{P}(f)\in\mathds{R}$\\
	\underline{Oberes} Riemann-Intagral von f: 
	$\int\limits_{Q}{\!}^{*}{f}(x)dx:=\inf\limits_{P=Part.\:{von}\:{Q}}\overline{S}_{P}(f)\in\mathds{R}$\\
	\hspace{1cm}\\
	Aus Korollar 1 folgt:
\subsubsection*{\underline{Korollar 2}}
	\[
	\int\limits_{Q}{\!}_{*}{f}(x)dx\leq\int\limits_{Q}{\!}^{*}{f}(x)dx
	\]
\subsubsection*{\underline{Def. 4}}
	$f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ \underline{Riemann-integrierbar} $:\Leftrightarrow$ 
	$\int\limits_{Q}{\!}_{*}{f}(x)dx=\int\limits_{Q}{\!}^{*}{f}(x)dx$
\subsubsection*{\underline{Lemma 2}}
	Sei $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ beschränkt. Äquivalent sind:
\begin{enumerate}
	\item f intbar
	\item $\forall\varepsilon$$>$$0\:\exists\delta$$>$$0$, s.d. $\forall$ Partitionen P der Feinheit 
	$\varphi{(P)}\leq\delta$ gilt:
	\[
	\left|\overline{S}_{P}(f)-\underline{S}_{P}(f)\right|\leq\varepsilon
	\]
\end{enumerate}
	\underline{Beweis} : folgt sofort aus der Def. von inf und sup.\begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright}
\subsubsection*{\underline{Satz 1}}
	Sei $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ stetig $\Rightarrow$ f intbar auf Q.\\
	\hspace{0.5cm}\\
	\underline{Beweis} : Q kompakt $\Rightarrow$ f glm. stetig aug Q\\
	D.h. $\forall\varepsilon$$>$$0\:\exists\delta$$>$$0$, s.d. $\forall{x},x'\in{Q}$ mit 
	$\underbrace{\left\|x-x'\right\|}_{eukl.\:Norm}\leq{\delta}$ gilt:
	\[
	\left|f(x)-f(x')\right|<\frac{\varepsilon}{\mu{(Q)}}
	\]
	Sei $P=\left\{Q_1,\ldots,Q_m\right\}$ Partition von Q der Feinheit $\varphi{(P)}\leq\delta$.\\
	\hspace{0.5cm}\\
	$0\leq\int\limits_{Q}{\!}^{*}{f}(x)dx-\int\limits_{Q}{\!}_{*}{f}(x)dx\leq
	\overline{S}_{P}(f)-\underline{S}_{P}(f)=
	\sum\limits_{i=1}^{m}\sup\limits_{x\in{Q}_i}f(x)\:\mu{(Q_i)}-
	\sum\limits_{i=1}^{m}\inf\limits_{x\in{Q}_i}f(x)\cdot$\\
	$\cdot\mu{(Q_i)}=\sum\limits_{i=1}^{m}\left|\max\limits_{x\in{Q}_i}f(x)-
	\min\limits_{x\in{Q}_i}f(x)\right|\!\mu{(Q_i)}\leq
	\sum\limits_{i=1}^{m}\frac{\varepsilon}{\mu{(Q)}}\mu{(Q_i)}=
	\frac{\varepsilon}{\mu{(Q)}}\mu{(Q)}=\varepsilon\Rightarrow$\\
	$\Rightarrow$ Beh. (Da gilt $\:\forall\varepsilon>0$) \begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright}
\subsubsection*{\underline{Lemma 3}}
	Sei $c\in\mathds{R}$ Konstante $\Rightarrow$ $\int\limits_{Q}c\:{dx}=c\cdot\mu{(Q)}$.\\
	Insbesondere $\int\limits_{Q}{dx}=\mu{(Q)}$\\
\underline{Beweis} : Sei $P=\left\{Q_1,\ldots,Q_m\right\}$ Partition.\\
	$\int\limits_{Q}c\:{dx}=
	\overline{S}_{P}(f)=\sum\limits_{i=k}^{m}c\cdot\mu{(Q_k)}=c\cdot\mu{(Q)}$.
	\begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright}
\subsubsection*{\underline{Def. 5}}
	Sei $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ beschränkt, $P=\left\{Q_1,\ldots,Q_m\right\}$ Partition.\\
	$\xi_k\in{Q_k}$ für $k=1,\ldots,m$ Stützstelle.\\
	Dann heißt
	\[
	{S}_{P}(f,\underline{\xi})=\sum\limits_{k=1}^{m}f(\xi_k)\cdot\mu{(Q_k)}
	\]
	Riemannsche Summe von f bzgl. P.\\
	Es gilt: $\underline{S}_{P}(f)\leq{S}_{P}(f,\underline{\xi})\leq\overline{S}_{P}(f)$
\subsubsection*{\underline{Satz 2}}
	Sei $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ intbar. Dann gilt:\\
	$\forall\varepsilon$$>$$0\:\exists\delta$$>$$0$, s.d. $\forall$ Partitionen P der Feinheit $\leq\delta$ gilt:
	\[
	\left|\int\limits_{Q}f(x)dx-{S}_{P}(f,\underline{\xi})\right|\leq\varepsilon
	\]
	für jede Wahl von Stützstellen $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_m)$\\
	\underline{Beweis} : wie in Analysis I \begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright}
\subsubsection*{\underline{Satz 3} (Satz über iterierte Integration)}
	Sei $Q=\left\{(x,y)\in\mathds{R}^2|a\leq{x}\leq{b},c\leq{y}\leq{d}\right\}$.\\
	Sei $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ intbar.\\
	Ann. Für jedes feste $y\in\left[c;d\right]$ existiere
	\[
	F(y):=\int\limits_{a}^{b}f(x,y)dx
	\]
	$\Rightarrow\;\exists\int\limits_{c}^{d}F(y)dy$ und es gilt:
	\[
	\int\limits_{Q}f(x,y)d(x,y)=\int\limits_{c}^{d}\left(\int\limits_{a}^{b}f(x,y)dx\right)dy
	\]
	\underline{Beweis} :\\
	Sei $P_x=\left\{x_0,\ldots,x_m\right\}$ Partition von $\left[a;b\right]$\\
	Sei $P_y=\left\{y_0,\ldots,y_l\right\}$ Partition von $\left[c;d\right]$\\
	$P_x$ und $P_y$ erzeugen Partition P:
	\[
	P=\left\{Q_{ij}|i=1,\ldots,m;j=1,\ldots,l\right\}
	\]
	\[
	Q_{ij}=\left\{(x,y)\in\mathds{R}^2|x_{i-1}\leq{x}\leq{x_i};y_{i-1}\leq{y}\leq{y_i}\right\}
	\]
	$\forall{\xi_i}\in\left[y_{i-1};y_i\right]$ sei 
	${S}_{P_y}(F,\underline{\xi})=\sum\limits_{j=1}^{l}F(\xi_j)(y_j-y_{j-1})$\\
	Es gilt $\forall{x}\in\left[x_{i-1};x_i\right]$:
	\[
	\inf\limits_{Q_{ij}}f(x,y)\leq{f}(x,\xi_i)\leq\sup\limits_{Q_{ij}}f(x,y)
	\]
	Integrieren über $\left[x_i;x_{i-1}\right]$ liefert:\\
\begin{center}
	$\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}\inf{f(x,y)}dx\leq
	\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x,\xi_j)dx
	\leq\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}\sup{f(x,y)}dx$\\
	$||\longleftarrow$ $\ \ \ \ \ $ Lemma 3 $\ \ \ \ \ $ $\longrightarrow||$\\
	$\inf\limits_{Q_{ij}}{f(x,y)}(x_i-x_{i-1})\leq
	\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x,\xi_j)dx\leq
	\sup\limits_{Q_{ij}}{f(x,y)}(x_i-x_{i-1})$\\
\end{center}
	Multiplikation mit $d_j=y_j-y_{j-1}$ und Summieren über $i$ und $j$ liefert:
\begin{center}
	$\sum\limits_{i,j}\inf\limits_{Q_{ij}}{f(x,y)}(x_i\!-\!x_{i\!-\!1})d_j\leq
	\sum\limits_{i,j}\int\limits_{x_{i\!-\!1}}^{x_i}$${f}(x,\xi_j)dx\cdot{d}_j\leq
	\sum\limits_{i,j}\sup\limits_{Q_{ij}}{f(x,y)}(x_i\!-\!x_{i\!-\!1})d_j$\\
	$||\ \ \ $ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $||$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $\ \ \ ||$\\
	$\sum\limits_{i,j}\inf\limits_{Q_{ij}}{f(x,y)}\mu(Q_j)
	\sum\limits_{j=1}^{l}\int\limits_{a}^{b}$${f}(x,\xi_j)dx(y_j\!-\!y_{j\!-\!1})
	\sum\limits_{i,j}\sup\limits_{Q_{ij}}{f(x,y)}\mu(Q_j)$\\
	$||\ \ \ $ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $||$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $\ \ \ ||$\\
	$\underline{S}_P(f)$$\ \ \ \ \ $
	$\sum\limits_{j=1}^{l}F(\xi_j)(y_j\!-\!y_{j\!-\!1})$
	$\ \ \ \ \ $$\overline{S}_P(f)$\\
	$||$\\
	${S}_{P_y}(F,\underline{\xi})$\\
\end{center}
	Also: $\underline{S}_P(f)\leq{S}_{P_y}(F,\underline{\xi})\leq\overline{S}_P(f)$ $\forall\underline{\xi}$\\
	\[
	\Rightarrow\underline{S}_P(f)\leq\underline{S}_{P_y}(F)\leq\overline{S}_P(f)\ (*)
	\]
	$\overline{S}_{P_y}(F)-\underline{S}_{P_y}(F)\leq
	\Rightarrow\underline{S}_P(f)-\overline{S}_P(f)\underbrace{\leq}_{f\:intbar}\varepsilon$\\
	$\int\limits_{c}^{d}{\!}^{*}{F}(y)dy-\int\limits_{c}^{d}{\!}_{*}{F}(y)dy=
	\inf\limits_{P_y}\overline{S}_{P_y}(F)-\sup\limits_{P_y}\underline{S}_{P_y}(F)\leq\varepsilon$\\
	$\Rightarrow$ F ist intbar.\\
	Weiter folgt aus $(*)$:
	\[
	\int\limits_{Q}f(x,y)d(x,y)\leq\int\limits_{c}^{d}F(y)dy\leq\int\limits_{Q}f(x,y)d(x,y)
	\]
	\begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright}
\end{document}

