\documentclass[12pt]{article} %\usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{ngerman} \usepackage{latexsym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb} \usepackage{lange} \usepackage{dsfont} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{a4wide} \pagestyle{fancy} \lhead{18. Oktober 2004} \chead{} \rhead{\bfseries Vorlesung 1} \usepackage{a4wide} %\textwidth 16.5cm %\textheight 24cm \renewcommand{\baselinestretch}{1.3} %\hoffset=-2cm %\voffset=-1.5cm %\parindent=0.0cm %\topskip=1cm \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \begin{document} \section*{§1 Das Riemann-Integral auf Quadern im $\mathds{R}^{n}$} \subsubsection*{\underline{Def. 1}} \textbf{(a)} $a=(a_1,a_2,\ldots,a_n),b=(b_1,b_2,\ldots,b_n)\;$ $a_i\leq{b_i}\;\forall{i}$\\ \hspace*{0.6cm} $Q=Q(a,b):=\left\{x\in\mathds{R}^{n}\;{|}\;{a}_i\leq{x_i}\leq{b_i}\:\forall{i}\right\}$ (abg.) Quader im $\mathds{R}^{n}$.\\ \hspace*{0.6cm} $\mathring{Q}\:{=}\mathring{Q}{(a,b)}:= \left\{x\in\mathds{R}^{n}\;{|}\;{a}_i<{x_i}<{b_i}\:\forall{i}\right\}$ (offener) Quader im $\mathds{R}^{n}$.\\ \hspace{1cm}\\ \textbf{(b)} Eine Menge $P$=$\left\{Q_1,\ldots,Q_m\right\}$ von Quadern im $\mathds{R}^{n}$ heißt \underline{Partition} des Quaders Q,\\ \hspace*{0.6cm} wenn gilt: \begin{itemize} \item $Q=\bigcup\limits_{i=1}^{m}{Q}_i$ \item $\mathring{Q_i}\cap\mathring{Q_j}=\emptyset\;\forall{i}\neq{j}$ \end{itemize} \hspace{1cm}\\ \textbf{(c)} Eine Partition $P'=\left\{Q'_{1},\ldots,Q'_{l}\right\}$ von Q heißt \underline{Verfeinerung} von P, wenn gilt:\\ \hspace*{0.6cm} Für jedes $Q'_\nu\in{P'}\ \exists\:{Q}\mu\in{P}$ mit $Q'_\nu\subset{Q\mu}$\\ \hspace{1cm}\\ \textbf{(d)} Sei $\delta{(Q_k)}$ der Durchmesser von $Q_k$, so heißt \[ \varphi{(P)}:=\max\limits_{1\leq{k}\leq{m}}\delta{(Q_k)} \] Die \underline{Feinheit} der Partition $P$ von $Q$.\\ Es gilt: Ist $P'$ Verfeinerung von $P$, so ist $\varphi{(P')}\leq\varphi{(P)}$.\\ \hspace{1cm}\\ Sei $Q=Q(a,b)$ Quader.\\ \underline{Volumen} von Q: $\mu{(Q)}:=\prod\limits_{i=1}^{n}{(b_i-a_i)}$\\ Es gilt: Ist $P=\left\{Q_1,\ldots,Q_m\right\}$ eine Partition von Q, so ist: \[ \mu{(Q)}=\sum\limits_{i=1}^{m}\mu{(Q_i)} \] \subsubsection*{\underline{Def. 2}} Sei Q Quader in $\mathds{R}^n$ und $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ beschränkt.\\ Sei $P=\left\{Q_1,\ldots,Q_m\right\}$ Partition von Q.\\ \underline{Untersumme} von f bzgl. P: \[ \underline{S}_P(f):=\sum\limits_{i=1}^{m}\inf\limits_{x\in{Q}_i}f(x)\:\mu{(Q_i)} \] \underline{Obersumme} von f bzgl. P: \[ \overline{S}_P(f):=\sum\limits_{i=1}^{m}\sup\limits_{x\in{Q}_i}f(x)\:\mu{(Q_i)} \] Es gilt: $\underline{S}_P(f)\leq{\overline{S}_P(f)}$\\ \subsubsection*{\underline{Lemma 1}} Sei $P'$ Verfeinerung von P $\Rightarrow$ \begin{eqnarray} \overline{S}_{P'}(f)\leq\overline{S}_P(f)\\ \underline{S}_{P'}(f)\geq\underline{S}_P(f) \end{eqnarray} \underline{Beweis} : klar.\begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright} \subsubsection*{\underline{Korollar 1}} Für je zwei Partitionen $P_1$ und $P_2$ von Q gilt: $\underline{S}_{P_1}(f)\leq\overline{S}_{P_2}(f)$.\\ \underline{Beweis} : Sei $P_3$ eine gemeinsame Verfeinerung von $P_1$ und $P_2$ $\Rightarrow$ \begin{center} $\underline{S}_{P_2}(f)\leq\underline{S}_{P_3}(f)$ (Nach Lemma 1)\\ $\underline{S}_{P_3}(f)\leq\overline{S}_{P_3}(f)$ (offensichtlich)\\ $\overline{S}_{P_3}(f)\leq\overline{S}_{P_1}(f)$ (Nach Lemma 1)\\ $\Rightarrow$ $\underline{S}_{P_2}(f)\leq\overline{S}_{P_1}(f)$ \end{center} \begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright} \subsubsection*{\underline{Def. 3}} Sei Q abg. Quader im $\mathds{R}^n$, $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ beschränkt.\\ \hspace{1cm}\\ \underline{Unteres} Riemann-Intagral von f: $\int\limits_{Q}{\!}_{*}{f}(x)dx:=\sup\limits_{P=Part.\:{von}\:{Q}}\underline{S}_{P}(f)\in\mathds{R}$\\ \underline{Oberes} Riemann-Intagral von f: $\int\limits_{Q}{\!}^{*}{f}(x)dx:=\inf\limits_{P=Part.\:{von}\:{Q}}\overline{S}_{P}(f)\in\mathds{R}$\\ \hspace{1cm}\\ Aus Korollar 1 folgt: \subsubsection*{\underline{Korollar 2}} \[ \int\limits_{Q}{\!}_{*}{f}(x)dx\leq\int\limits_{Q}{\!}^{*}{f}(x)dx \] \subsubsection*{\underline{Def. 4}} $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ \underline{Riemann-integrierbar} $:\Leftrightarrow$ $\int\limits_{Q}{\!}_{*}{f}(x)dx=\int\limits_{Q}{\!}^{*}{f}(x)dx$ \subsubsection*{\underline{Lemma 2}} Sei $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ beschränkt. Äquivalent sind: \begin{enumerate} \item f intbar \item $\forall\varepsilon$$>$$0\:\exists\delta$$>$$0$, s.d. $\forall$ Partitionen P der Feinheit $\varphi{(P)}\leq\delta$ gilt: \[ \left|\overline{S}_{P}(f)-\underline{S}_{P}(f)\right|\leq\varepsilon \] \end{enumerate} \underline{Beweis} : folgt sofort aus der Def. von inf und sup.\begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright} \subsubsection*{\underline{Satz 1}} Sei $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ stetig $\Rightarrow$ f intbar auf Q.\\ \hspace{0.5cm}\\ \underline{Beweis} : Q kompakt $\Rightarrow$ f glm. stetig aug Q\\ D.h. $\forall\varepsilon$$>$$0\:\exists\delta$$>$$0$, s.d. $\forall{x},x'\in{Q}$ mit $\underbrace{\left\|x-x'\right\|}_{eukl.\:Norm}\leq{\delta}$ gilt: \[ \left|f(x)-f(x')\right|<\frac{\varepsilon}{\mu{(Q)}} \] Sei $P=\left\{Q_1,\ldots,Q_m\right\}$ Partition von Q der Feinheit $\varphi{(P)}\leq\delta$.\\ \hspace{0.5cm}\\ $0\leq\int\limits_{Q}{\!}^{*}{f}(x)dx-\int\limits_{Q}{\!}_{*}{f}(x)dx\leq \overline{S}_{P}(f)-\underline{S}_{P}(f)= \sum\limits_{i=1}^{m}\sup\limits_{x\in{Q}_i}f(x)\:\mu{(Q_i)}- \sum\limits_{i=1}^{m}\inf\limits_{x\in{Q}_i}f(x)\cdot$\\ $\cdot\mu{(Q_i)}=\sum\limits_{i=1}^{m}\left|\max\limits_{x\in{Q}_i}f(x)- \min\limits_{x\in{Q}_i}f(x)\right|\!\mu{(Q_i)}\leq \sum\limits_{i=1}^{m}\frac{\varepsilon}{\mu{(Q)}}\mu{(Q_i)}= \frac{\varepsilon}{\mu{(Q)}}\mu{(Q)}=\varepsilon\Rightarrow$\\ $\Rightarrow$ Beh. (Da gilt $\:\forall\varepsilon>0$) \begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright} \subsubsection*{\underline{Lemma 3}} Sei $c\in\mathds{R}$ Konstante $\Rightarrow$ $\int\limits_{Q}c\:{dx}=c\cdot\mu{(Q)}$.\\ Insbesondere $\int\limits_{Q}{dx}=\mu{(Q)}$\\ \underline{Beweis} : Sei $P=\left\{Q_1,\ldots,Q_m\right\}$ Partition.\\ $\int\limits_{Q}c\:{dx}= \overline{S}_{P}(f)=\sum\limits_{i=k}^{m}c\cdot\mu{(Q_k)}=c\cdot\mu{(Q)}$. \begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright} \subsubsection*{\underline{Def. 5}} Sei $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ beschränkt, $P=\left\{Q_1,\ldots,Q_m\right\}$ Partition.\\ $\xi_k\in{Q_k}$ für $k=1,\ldots,m$ Stützstelle.\\ Dann heißt \[ {S}_{P}(f,\underline{\xi})=\sum\limits_{k=1}^{m}f(\xi_k)\cdot\mu{(Q_k)} \] Riemannsche Summe von f bzgl. P.\\ Es gilt: $\underline{S}_{P}(f)\leq{S}_{P}(f,\underline{\xi})\leq\overline{S}_{P}(f)$ \subsubsection*{\underline{Satz 2}} Sei $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ intbar. Dann gilt:\\ $\forall\varepsilon$$>$$0\:\exists\delta$$>$$0$, s.d. $\forall$ Partitionen P der Feinheit $\leq\delta$ gilt: \[ \left|\int\limits_{Q}f(x)dx-{S}_{P}(f,\underline{\xi})\right|\leq\varepsilon \] für jede Wahl von Stützstellen $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_m)$\\ \underline{Beweis} : wie in Analysis I \begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright} \subsubsection*{\underline{Satz 3} (Satz über iterierte Integration)} Sei $Q=\left\{(x,y)\in\mathds{R}^2|a\leq{x}\leq{b},c\leq{y}\leq{d}\right\}$.\\ Sei $f:{Q}\rightarrow\mathds{R}$ intbar.\\ Ann. Für jedes feste $y\in\left[c;d\right]$ existiere \[ F(y):=\int\limits_{a}^{b}f(x,y)dx \] $\Rightarrow\;\exists\int\limits_{c}^{d}F(y)dy$ und es gilt: \[ \int\limits_{Q}f(x,y)d(x,y)=\int\limits_{c}^{d}\left(\int\limits_{a}^{b}f(x,y)dx\right)dy \] \underline{Beweis} :\\ Sei $P_x=\left\{x_0,\ldots,x_m\right\}$ Partition von $\left[a;b\right]$\\ Sei $P_y=\left\{y_0,\ldots,y_l\right\}$ Partition von $\left[c;d\right]$\\ $P_x$ und $P_y$ erzeugen Partition P: \[ P=\left\{Q_{ij}|i=1,\ldots,m;j=1,\ldots,l\right\} \] \[ Q_{ij}=\left\{(x,y)\in\mathds{R}^2|x_{i-1}\leq{x}\leq{x_i};y_{i-1}\leq{y}\leq{y_i}\right\} \] $\forall{\xi_i}\in\left[y_{i-1};y_i\right]$ sei ${S}_{P_y}(F,\underline{\xi})=\sum\limits_{j=1}^{l}F(\xi_j)(y_j-y_{j-1})$\\ Es gilt $\forall{x}\in\left[x_{i-1};x_i\right]$: \[ \inf\limits_{Q_{ij}}f(x,y)\leq{f}(x,\xi_i)\leq\sup\limits_{Q_{ij}}f(x,y) \] Integrieren über $\left[x_i;x_{i-1}\right]$ liefert:\\ \begin{center} $\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}\inf{f(x,y)}dx\leq \int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x,\xi_j)dx \leq\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}\sup{f(x,y)}dx$\\ $||\longleftarrow$ $\ \ \ \ \ $ Lemma 3 $\ \ \ \ \ $ $\longrightarrow||$\\ $\inf\limits_{Q_{ij}}{f(x,y)}(x_i-x_{i-1})\leq \int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x,\xi_j)dx\leq \sup\limits_{Q_{ij}}{f(x,y)}(x_i-x_{i-1})$\\ \end{center} Multiplikation mit $d_j=y_j-y_{j-1}$ und Summieren über $i$ und $j$ liefert: \begin{center} $\sum\limits_{i,j}\inf\limits_{Q_{ij}}{f(x,y)}(x_i\!-\!x_{i\!-\!1})d_j\leq \sum\limits_{i,j}\int\limits_{x_{i\!-\!1}}^{x_i}$${f}(x,\xi_j)dx\cdot{d}_j\leq \sum\limits_{i,j}\sup\limits_{Q_{ij}}{f(x,y)}(x_i\!-\!x_{i\!-\!1})d_j$\\ $||\ \ \ $ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $||$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $\ \ \ ||$\\ $\sum\limits_{i,j}\inf\limits_{Q_{ij}}{f(x,y)}\mu(Q_j) \sum\limits_{j=1}^{l}\int\limits_{a}^{b}$${f}(x,\xi_j)dx(y_j\!-\!y_{j\!-\!1}) \sum\limits_{i,j}\sup\limits_{Q_{ij}}{f(x,y)}\mu(Q_j)$\\ $||\ \ \ $ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $||$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $ $\ \ \ ||$\\ $\underline{S}_P(f)$$\ \ \ \ \ $ $\sum\limits_{j=1}^{l}F(\xi_j)(y_j\!-\!y_{j\!-\!1})$ $\ \ \ \ \ $$\overline{S}_P(f)$\\ $||$\\ ${S}_{P_y}(F,\underline{\xi})$\\ \end{center} Also: $\underline{S}_P(f)\leq{S}_{P_y}(F,\underline{\xi})\leq\overline{S}_P(f)$ $\forall\underline{\xi}$\\ \[ \Rightarrow\underline{S}_P(f)\leq\underline{S}_{P_y}(F)\leq\overline{S}_P(f)\ (*) \] $\overline{S}_{P_y}(F)-\underline{S}_{P_y}(F)\leq \Rightarrow\underline{S}_P(f)-\overline{S}_P(f)\underbrace{\leq}_{f\:intbar}\varepsilon$\\ $\int\limits_{c}^{d}{\!}^{*}{F}(y)dy-\int\limits_{c}^{d}{\!}_{*}{F}(y)dy= \inf\limits_{P_y}\overline{S}_{P_y}(F)-\sup\limits_{P_y}\underline{S}_{P_y}(F)\leq\varepsilon$\\ $\Rightarrow$ F ist intbar.\\ Weiter folgt aus $(*)$: \[ \int\limits_{Q}f(x,y)d(x,y)\leq\int\limits_{c}^{d}F(y)dy\leq\int\limits_{Q}f(x,y)d(x,y) \] \begin{flushright}$\qedsymbol$\end{flushright} \end{document}