\documentclass[12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{ngerman} \usepackage{dsfont} \usepackage{textcomp} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{a4wide} \pagestyle{fancy} \lhead{22. November 2004} \chead{} \rhead{\bfseries Vorlesung 10} \renewcommand{\baselinestretch}{1.3} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \newcounter{satznr} \newenvironment{satz}[2][~]{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty-300 \vskip0pt plus -30pt \refstepcounter{satznr} \label{satz:#2} {\bf Satz \arabic{satznr}} #1\begin{quote}} {\end{quote}\medskip\par} \newcounter{definr} \newenvironment{defi}[2][~]{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty-300 \vskip0pt plus -30pt \refstepcounter{definr} \label{defi:#2} {\bf Definition \arabic{definr}} #1\begin{quote}} {\end{quote}\medskip\par} \newcounter{lemnr} \newenvironment{lem}[2][~]{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty-300 \vskip0pt plus -30pt \refstepcounter{lemnr} \label{lem:#2} {\bf Lemma \arabic{lemnr}} #1\begin{quote}} {\end{quote}\medskip \par} \begin{document} \section*{§8 Das Lebesgues Integral im $\mathds{R}^n$} $ $\\ Sei Q $\subset \mathds{R}^n$ ein (beschr"ankter) Quader, d.h. $Q = I_1 \times \dots \times I_n$, wo $I_{\nu}\,\subset\,\mathds{R}$ Intervalle \\ \begin{defi}{defi1} $\varphi:$ $Q \rightarrow \mathds{R}$ hei"st Treppenfunktion auf Q $:\Leftrightarrow \exists$ Partition Q =$\bigcup\limits_{i=1}^{n}Q_i$ von Q, s.d. \begin{center} $f\!\mid\,\stackrel{\circ}{Q_i} = const =: c_i$ \end{center} \underline{Gilt}: Jede Treppenfunktion ist R(iemann)-integrierbar und es gilt: $$ \int\limits_{Q} \varphi (x) dx= \sum_{k=1}^{n} c_i \mu (Q_i) $$ \end{defi} \begin{defi}{defi2} Eine Treppenfunktion $\varphi: Q \rightarrow \mathds{R}$ auf einem unbeschr"ankten Quader Q ist eine Funktion, für die $\exists$ beschr"ankter Teilquader $\widetilde{Q}\subset Q$, so dass gilt: \begin{enumerate} \item $f\!\mid\!\widetilde{Q}$ ist Treppenfunktion (im obigen Sinne) \item $f\!\mid\!Q \setminus\widetilde{Q}$$\equiv 0$ \end{enumerate} F"ur solche $\varphi$ definiere $\int\limits_{Q} \varphi (x)dx := \int\limits_{\widetilde{Q}} \varphi (x) dx$ \end{defi} $ $\\ Im Folgenden sei $ Q \subset \mathds{R}^n$ beliebiger Quader (z.B. $ Q = \mathds{R}^n$)\\ $ $\\ Sei $\mathcal{T}(Q) := \mathds{R}$-VR der Treppenfunktionen auf Q. \begin{defi}{defi3} Wie in Analysis II $§1\!2$ sei definiert:\\ $M$$\subset$$\mathds{R}^n$ hei"st Nullmenge $:\Leftrightarrow \forall \varepsilon$$>$$0 \ \exists $ h"ochstens abz"ahlbar viele Quader $Q_{\nu}$, s.d.: \begin{enumerate} \item $ M \subset \bigcup\limits_{\nu = 1}^{\infty} Q_{\nu}$ \item $ \sum\limits_{\nu=1}^{\infty} \mu (Q_{\nu}) < \varepsilon$ \end{enumerate} \end{defi} $ $\\ Fast "uberall $:\Leftrightarrow$ bis auf eine Nullmenge\\ Genau wie in Analysis II $§1\!2$ gilt : \begin{satz}[Lebesguesches Integrabilit"atskriterium]{satz1} f = R-intbar auf Q $\Leftrightarrow$ \begin{enumerate} \item[(i)] f ist beschr"ankt auf Q \item[(ii)] f ist fast "uberall stetig auf Q (d.h. stetig bis auf höchstens eine Nullmenge) \end{enumerate} \end{satz} $ $\\ Wie in Analysis II $§13$ sei \begin{defi}{defi4} $\mathcal{L}^+ (Q) := \left\{ \begin{array}{l} f : Q \rightarrow \mathds{R} \mid \exists \ \hbox{monoton} \nearrow \hbox{Folge } (\varphi_{n})_{n \in \mathds{N}} \hbox{ von Treppenfunktionen}\ \hbox{mit :}\\ \hspace*{2.5cm}\hbox{1.} \ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \varphi_n (x) \stackrel{\exists}{=} f(x) \ \hbox{fast "uberall}\\ \hspace*{2.5cm} \hbox{2.} \ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{Q} \varphi_n (x) dx \ \exists \end{array} \right\}$ \end{defi} \begin{defi}{defi5} $\mathcal{L} (Q) := \left\{ f = g-h \ \ \hbox{f."u.} \mid g, h \in \mathcal{L}^+ (Q)\right\} = \mathds{R}$-VR \end{defi} \begin{defi}[Lebesguesintegral]{defi6} Sei $ f \in \mathcal{L} (Q) \ \hbox{etwa} f = g-h \ \ \hbox{f."u.}\\ g = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \varphi_n \in \mathcal{L}^+ (Q)\\ h = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \psi_n \in \mathcal{L}^+ (Q)$\\ Dann hei"st $$ \int\limits_{Q} f(x) dx := \lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{Q} \varphi_n (x) dx - \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{Q} \psi_n (x) dx $$ Das Lebesgues-Integral von f. \end{defi}$ $\\ Wie in Analysis II $§13$ zeigt man (fast w"ortlich): \begin{enumerate} \item $\int\limits_{Q} f(x) dx $ ist wohldefiniert\\ \item f ist R-intbar auf Q $\Rightarrow$ f ist L-intbar auf Q (gilt nur auf kompaktem Tr"ager) und\\ $$ \hbox{R - Integral = L - Integral} $$ \item $\mathcal{L}(Q)$ ist $\mathds{R}$-VR und $\int\limits_{Q} \bullet\ dx : \mathcal{L} (Q) \rightarrow \mathds{R}$ ist $\mathds{R}$-linear und ordnungserhaltend, d.h.\\ $$ f_1 (x) < f_2 (x) \Rightarrow \int\limits_{Q} f_1 (x) dx < \int\limits_Q f_2 (x) dx $$ \item \begin{satz}[Konvergenzsatz von Levi]{satz2} Sei $ (f_n) \ \hbox{monoton} \nearrow \hbox{Folge von Funktionen} \ f_n \in\mathcal{L}(Q) \\ \hbox{mit beschr"ankter Integralfolge } (\int\limits_Q f_n (x) dx)_{n \in \mathds{N}} \Rightarrow \exists \ f \in \mathcal{L}(Q) \ \hbox{mit:} \\ \hspace*{6cm}\hbox{(1)} \ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n \stackrel{\exists}{=} f \ \hbox{ f."u.} \\ \hspace*{6cm}\hbox{(2)} \ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_Q f_n dx = \int\limits_Q f(x) dx $ \end{satz} \item \begin{satz}[Konvergenzsatz von Lesbegues]{satz3} Sei $ f_n \in \mathcal{L}(Q)\ \forall n \in \mathds{N}$ \\ Angenommen: \begin{description} \item[(1)] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n \stackrel{\exists}{=} f\ $ f."u. \item [(2)] $\left|f_n\right| \le g \in \mathcal{L}(Q) \ \forall n \in \mathds{N} $ \end{description} $\Rightarrow f \in \mathcal{L}(Q)$ und es gilt: $$ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_Q f_n (x) dx = \int\limits_Q \lim_{n \rightarrow \infty} f_n (x) dx = \int\limits_Q f(x) dx $$ \end{satz} \end{enumerate} Beweise wie in Analysis II. Auch Folgerungen gelten unver"andert.\\ \begin{satz}[Satz von Fubini f"ur L-Integrale]{satz4} Sei $ Q_1 = \hbox{p-dim. Quader, } Q_2 = \hbox{q-dim. Quader} \\ Q := Q_1 \times Q_2 $ \\ Sei $ f \in \mathcal{L}(Q) $ \\ $ \Rightarrow $ Die Funktion $ g: \left\{\begin{array}{l} Q_2 \rightarrow \mathds{R} \\ y \mapsto \int\limits_{Q_1} f(x,y)\ dx \end{array} \right. $ existiert f."u. \\ Setzt man g irgendwie fort auf $Q_2$, so ist $g \in \mathcal{L}(Q_2)$ und es gilt: $$ \int\limits_Q f(x,y) d(x,y) \ = \int\limits_{Q_2}g(y) \ dy \Big(= \int\limits_{Q_2} ( \int\limits_{Q_1}f(x,y)\ dx)dy\Big) $$ \end{satz} $ $\\ Um den Satz von Fubini f"ur L-Integrale zu beweisen, m"ussen zuerst zwei Lemmata bewiesen werden. Der Beweis wird der Einfachheit halber für p=q=1 durchgeführt, d. h. n=p+q=2. Der allgemeine Beweis verl"auft analog. \\ $ $\\ Aus $ p=q=1 \Rightarrow \ Q_1 = I_1 $ und $Q_2 = I_2 $ sind Intervalle. \begin{lem}{lem1} Sei $ \varphi \in \mathcal{T}(Q)$ und $ Q = I_1 \times I_2 \\ \Rightarrow \int\limits_Q \varphi(x,y)\ d(x,y)\ = \int\limits_{I_2}(\int\limits_{I_1} \varphi (x,y)\ dx)dy $\\ {\bf Beweis :}\\ Treppenfunktionen sind R-intbar.\\ Damit folgt das Lemma aus dem Satz "uber iterierte Integration. \end{lem} \begin{lem}{lem2} Sei $N \subset \mathds{R}^2 $ Nullmenge. Dann ist f"ur fast alle $y \in \mathds{R} $ die Menge : $$ N(y)\:= \left\{ y \mid (x,y)\ \in N \right\} $$ eine Nullmenge in $\mathds{R} $ \\ $ $\\ {\bf Beweis :} \\ $ $\\ Sei $ Q = \mathds{R}^2$. Nach einer Folgerung analog zu Satz aus Analysis II (w"ortlich aus der Vorlesung) $ \exists \ \hbox{momoton} \nearrow \hbox{Folge } (\varphi_n) \subset \mathcal{T}(\mathds{R}^2) $ mit beschr"ankter Integralfolge $\left( \int\limits_{\mathds{R}^2} \varphi_n (x,y)\ d(x,y)\ \right)_{n \in \mathds{N}} $, so dass $ \left( \varphi_n (x,y)\ \right)_{n \in \mathds{N}} \ $ divergent $ \forall (x,y) \in N $ \\ $ $\\ Sei $ y \in \mathds{R}^2 $ fest. Die Folge von Funktionen $$ \psi_n (y)\ := \int\limits_{\mathds{R}} \varphi_n (x,y)\ dx $$ ist monoton wachsend. \\ $ $\\ Ihre Integralfolge $\left( \int\limits_{\mathds{R}} \psi_n (y)\ dy \right) \ $ ist beschr"ankt, denn nach Lemma 1 ist $$ \left(\int\limits_{\mathds{R}} \psi_n (y)\ dy \right)_{n \in \mathds{N}} = \int\limits_{\mathds{R}}( \int\limits_{\mathds{R}} \varphi_n (x,y)\ dx)dy \stackrel{L1}{=} \int\limits_{\mathds{R}^2} \varphi_n (x,y)\d(x,y)\ $$ $ $\\ Satz von Levi $\Rightarrow (\psi_n)_{n \in \mathds{N}}\ $ konvergiert f. "u. auf $\mathds{R}.$ \\$ $\\ Sei $ y_0 \in \mathds{R}$, so dass $ (\psi_n (y_0))_{n \in \mathds{N}} \ $ konvergent.\\ Satz von Levi $\Rightarrow \ (\varphi_n (x,y_0))_{n \in \mathds{N}} \ $ divergiert h"ochstens auf einer Nullmenge. \\ Aber $ (\varphi_n (x,y_0))_{n \in \mathds{N}} \ $ divergiert auf $N(y_0)$ \\ $ $\\ $\Rightarrow N(y_0) \ $ ist Nullmenge in $\mathds{R}$ \end{lem} $ $\\ {\bf Beweis (Satz von Fubini) :}\\ $ $\\ O.B.d.A. $ f$$\:\in\:$$\mathcal{L}^+(Q)\ $ \\ (denn ist der Satz f"ur $ \mathcal{L}^+ (Q) \ $ bewiesen und $ g \in \mathcal{L}$, so ist $ g= f_1 -f_2 $ mit $ f_1 , f_2 \in \mathcal{L}^+(Q) \\ \Rightarrow\int\limits_Q g\ d(x,y)\ = \int\limits_Q f_1 d(x,y)\ - \int\limits_Q f_2 d(x,y)\ = \int\limits_{Q_1} \int\limits_{Q_2} f_1 dx dy - \int\limits_{Q_1} \int\limits_{Q_2} f_2 dx dy = \int\limits_{Q_1} \int\limits_{Q_2} g\ dx dy $) \\ $ $\\ Aus der Definition f"ur L-Integrale $ \Rightarrow \exists \ \hbox{monoton} \ \nearrow \ \hbox{Folge} (\varphi_n) \in \mathcal{T} (Q) \ $ mit \begin{enumerate} \item[(i)] $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \varphi_n = f \ $ f. "u. \item[(ii)] $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_Q \varphi_n d(x,y)= \int\limits_Q f\ d(x,y)$ \hfill (1) \end{enumerate} Sei $\psi_n (y)\ := \int\limits_{Q_1} \varphi_n (x,y)\ dx $. Die Folge $ (\psi_n)\ $ ist monoton $ \nearrow $ \\ Lemma 1 $ \Rightarrow \int\limits_{Q_2} \psi_n (y)\ dy = \int\limits_Q \varphi_n (x,y)\ d(x,y)\ $ \hfill (2)\\ $\Rightarrow \ $ Die Integralfolge $\left( \int\limits_{Q_2 } \psi_n (y)\ dy \right)_{n \in \mathds{N}} $ konvergiert, ist also beschr"ankt.\\ Satz von Levi $ \Rightarrow (\psi_n(y))_{n \in \mathds{N}} $ konvergiert f. "u. auf $ Q_2 $ \\ $ $\\ $ N:= \left\{ (x,y)\in Q \mid (\varphi_n (x,y))_{n \in \mathds{N}} \hbox{ divergent} \right\} $ ist Nullmenge \\ $ $ \\ Lemma 2 $ \Rightarrow \ $ f"ur fast alle $y \in Q_2 \hbox{ ist } N(y)\:= \left\{ x \mid (x,y)\ \in N \right\} \ \hbox{eine Nullmenge in} \ Q_1 $.\\ $ $ \\ Sei $ y_0 \in Q_2 $, so dass gilt: $ N(y_0) \ $ ist Nullmenge und $ ( \psi_n(y_0))_{n \in \mathds{N}} \ $ konvergiert.\\ Dann $ \exists \ $ Nullmenge $N_0 \subset Q_2 $, so dass $ \forall y_0 \in Q_2 \setminus N_0 $ das eben gesagte gilt. \\ $\Rightarrow (\varphi_n (x,y_0)) \ $ konvergiert von unten gegen $ f(x,y_0) \ \ \forall x \in Q_1 \setminus N(y_0) $ \\ $ $\\ Nach Def. des L - Integrals "uber $ Q_1 $ $\Rightarrow$ $$ \int\limits_{Q_1} f(x,y_0) dx \stackrel{\exists}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{Q_1} \varphi_n (x,y_0) dx = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \psi_n (y_0) $$ Setze $ g(y)\ := \left\{\begin{array}{c l} \int\limits_{Q_1} f(x,y)\ dx = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \psi_n (y)& \forall y\in Q_2 \setminus N_0 \\ 0& \forall y \in N_0\\ \end{array} \right.$ \hfill (3)\\ $ $\\ $ $\\ Wir haben bewiesen: \\ Die Folge $ (\psi_n )_{n \in \mathds{N}} $ ist monoton wachsend mit $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \psi_n (y)\ = g(y)\ $ f."u. und es gilt: $$ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{Q_2} \psi_n (y)\ dy \stackrel{(2)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_Q \varphi_n (x,y)\ d(x,y)\ \stackrel{(1)}{=} \int\limits_Q f(x,y)\ d(x,y)\ \hfill (4) $$ Satz von Levi $\Rightarrow g \in \mathcal{L}(Q_2) \ $ und es gilt: $$ \int\limits_{Q_2} \int\limits_{Q_1} f(x,y)\ dx dy \stackrel{(3)}{=} \int\limits_{Q_2} g (y)\ dy \stackrel{(4)}{=} \int\limits_Q f (x,y)\ d(x,y)\ $$ \end{document}