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\lhead{22. November 2004}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 10}

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\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}
\newcounter{satznr}

\newenvironment{satz}[2][~]{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt
\penalty-300 \vskip0pt plus -30pt \refstepcounter{satznr}
\label{satz:#2} {\bf Satz \arabic{satznr}} #1\begin{quote}}
{\end{quote}\medskip\par}

\newcounter{definr}

\newenvironment{defi}[2][~]{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt
\penalty-300 \vskip0pt plus -30pt \refstepcounter{definr}
\label{defi:#2} {\bf Definition \arabic{definr}} #1\begin{quote}}
{\end{quote}\medskip\par}

\newcounter{lemnr}

\newenvironment{lem}[2][~]{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt
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\label{lem:#2} {\bf Lemma \arabic{lemnr}} #1\begin{quote}}
{\end{quote}\medskip \par}

\begin{document}
	\section*{§8 Das Lebesgues Integral im $\mathds{R}^n$}
	$ $\\
	Sei Q $\subset \mathds{R}^n$ ein (beschr"ankter) Quader, d.h.
	$Q = I_1 \times \dots \times I_n$, wo $I_{\nu}\,\subset\,\mathds{R}$ Intervalle
	\\
	\begin{defi}{defi1}
		$\varphi:$ $Q \rightarrow \mathds{R}$ hei"st Treppenfunktion
		auf Q $:\Leftrightarrow \exists$ Partition Q =$\bigcup\limits_{i=1}^{n}Q_i$ von Q, s.d.
		\begin{center}
			$f\!\mid\,\stackrel{\circ}{Q_i} = const =: c_i$
		\end{center}
		\underline{Gilt}: Jede Treppenfunktion ist
		R(iemann)-integrierbar und es gilt:
		$$
			\int\limits_{Q} \varphi (x) dx= \sum_{k=1}^{n} c_i \mu (Q_i)
		$$
	\end{defi}
	\begin{defi}{defi2}
		Eine Treppenfunktion $\varphi: Q
		\rightarrow \mathds{R}$ auf einem unbeschr"ankten Quader Q
		ist eine Funktion, für die $\exists$ beschr"ankter
		Teilquader $\widetilde{Q}\subset Q$, so dass gilt: 
		\begin{enumerate}
			\item $f\!\mid\!\widetilde{Q}$ ist Treppenfunktion (im
			obigen Sinne)
			\item $f\!\mid\!Q \setminus\widetilde{Q}$$\equiv 0$
			\end{enumerate}
		F"ur solche $\varphi$ definiere $\int\limits_{Q} \varphi (x)dx :=
		\int\limits_{\widetilde{Q}}  \varphi (x) dx$
	\end{defi} $ $\\
		Im Folgenden sei $ Q \subset \mathds{R}^n$ beliebiger
		Quader (z.B. $ Q = \mathds{R}^n$)\\ $ $\\
		Sei $\mathcal{T}(Q) := \mathds{R}$-VR der Treppenfunktionen auf Q.
	\begin{defi}{defi3}
		Wie in Analysis II $§1\!2$ sei definiert:\\
		$M$$\subset$$\mathds{R}^n$ hei"st Nullmenge $:\Leftrightarrow 
		\forall \varepsilon$$>$$0 \ \exists $ h"ochstens abz"ahlbar viele Quader $Q_{\nu}$, s.d.:
		\begin{enumerate}
			\item $ M \subset \bigcup\limits_{\nu = 1}^{\infty} Q_{\nu}$
			\item $ \sum\limits_{\nu=1}^{\infty} \mu (Q_{\nu}) <
			\varepsilon$
		\end{enumerate}
	\end{defi} $ $\\
		Fast "uberall $:\Leftrightarrow$ bis auf eine Nullmenge\\
		Genau wie in Analysis II $§1\!2$ gilt :
	\begin{satz}[Lebesguesches Integrabilit"atskriterium]{satz1}
		f = R-intbar auf Q $\Leftrightarrow$
		\begin{enumerate}
			\item[(i)]  f ist beschr"ankt auf Q
			\item[(ii)] f ist fast "uberall stetig auf Q (d.h. stetig bis auf höchstens eine Nullmenge)
		\end{enumerate}
	\end{satz}
	$ $\\
	Wie in Analysis II $§13$ sei
	\begin{defi}{defi4}
		$\mathcal{L}^+ (Q) := \left\{ \begin{array}{l}
		f : Q \rightarrow \mathds{R}
		\mid \exists \ \hbox{monoton} \nearrow \hbox{Folge } (\varphi_{n})_{n \in \mathds{N}} \hbox{ von
		Treppenfunktionen}\ \hbox{mit :}\\ 
					\hspace*{2.5cm}\hbox{1.} \ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \varphi_n (x)
						\stackrel{\exists}{=} f(x) \ \hbox{fast "uberall}\\
					\hspace*{2.5cm} \hbox{2.} \ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{Q} \varphi_n
						(x) dx \ \exists
					\end{array}
		\right\}$
	\end{defi}
	\begin{defi}{defi5}
		$\mathcal{L} (Q) := \left\{ f = g-h \ \ \hbox{f."u.} \mid g, h \in
		\mathcal{L}^+ (Q)\right\} = \mathds{R}$-VR
	\end{defi}
	\begin{defi}[Lebesguesintegral]{defi6}
		Sei $ f \in \mathcal{L} (Q) \ \hbox{etwa} f = g-h \ \ \hbox{f."u.}\\
		g = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \varphi_n \in \mathcal{L}^+ (Q)\\
		h = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \psi_n \in \mathcal{L}^+ (Q)$\\
		Dann hei"st
		$$
			\int\limits_{Q} f(x) dx := \lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{Q} \varphi_n (x) dx
			- \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{Q} \psi_n (x) dx
		$$
		Das Lebesgues-Integral von f.
	\end{defi}$ $\\
	Wie in Analysis II $§13$ zeigt man (fast w"ortlich):
	\begin{enumerate}
		\item $\int\limits_{Q} f(x) dx $ ist wohldefiniert\\
		\item f ist R-intbar auf Q $\Rightarrow$ f ist L-intbar auf Q (gilt nur auf kompaktem Tr"ager) und\\
		$$
			\hbox{R - Integral = L - Integral}
		$$
		\item $\mathcal{L}(Q)$ ist $\mathds{R}$-VR und  $\int\limits_{Q} \bullet\ dx :
		\mathcal{L} (Q) \rightarrow \mathds{R}$ ist $\mathds{R}$-linear und
		ordnungserhaltend, d.h.\\
		$$
			f_1 (x) < f_2 (x) \Rightarrow \int\limits_{Q} f_1 (x) dx < \int\limits_Q f_2 (x) dx
		$$
		\item \begin{satz}[Konvergenzsatz von Levi]{satz2}
				Sei $ (f_n) \ \hbox{monoton} \nearrow \hbox{Folge von Funktionen} \ f_n \in\mathcal{L}(Q) \\
				\hbox{mit beschr"ankter Integralfolge } (\int\limits_Q f_n (x) dx)_{n \in \mathds{N}}
				\Rightarrow \exists \ f \in \mathcal{L}(Q) \ \hbox{mit:}
				\\
				\hspace*{6cm}\hbox{(1)} \ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n \stackrel{\exists}{=} f
				\ \hbox{ f."u.} \\
				\hspace*{6cm}\hbox{(2)} \ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_Q f_n dx =
				\int\limits_Q f(x) dx $
				\end{satz}
		\item \begin{satz}[Konvergenzsatz von Lesbegues]{satz3}
						Sei $ f_n \in \mathcal{L}(Q)\ \forall n \in \mathds{N}$ \\
						Angenommen: \begin{description}
											\item[(1)] $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n
											\stackrel{\exists}{=} f\ $ f."u.
											\item [(2)] $\left|f_n\right| \le g \in
												\mathcal{L}(Q) \ \forall n \in \mathds{N} $
										\end{description}
						$\Rightarrow f \in \mathcal{L}(Q)$ und es gilt:
						$$
							\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_Q f_n (x) dx = \int\limits_Q \lim_{n
							\rightarrow \infty} f_n (x) dx = \int\limits_Q f(x) dx
						$$
						\end{satz}
	\end{enumerate}
	
	Beweise wie in Analysis II. Auch Folgerungen gelten unver"andert.\\
	\begin{satz}[Satz von Fubini f"ur L-Integrale]{satz4}
		Sei $ Q_1 = \hbox{p-dim. Quader, } Q_2 = \hbox{q-dim. Quader} \\
		Q := Q_1 \times Q_2 $   \\
		Sei $ f \in \mathcal{L}(Q)  $  \\
		$ \Rightarrow $ Die Funktion $ g: \left\{\begin{array}{l}
			Q_2 \rightarrow \mathds{R} \\
			y \mapsto \int\limits_{Q_1} f(x,y)\ dx
			\end{array}
			\right. $ 
			existiert f."u. \\
			Setzt man g irgendwie fort auf $Q_2$, so ist $g \in \mathcal{L}(Q_2)$ und
			es gilt:
			$$
				\int\limits_Q f(x,y) d(x,y) \ = \int\limits_{Q_2}g(y) \ dy 
				\Big(= \int\limits_{Q_2} ( \int\limits_{Q_1}f(x,y)\ dx)dy\Big)
			$$
		\end{satz} $ $\\
	Um den Satz von Fubini f"ur L-Integrale zu beweisen, m"ussen
	zuerst zwei Lemmata bewiesen werden. Der Beweis wird der
	Einfachheit halber für p=q=1 durchgeführt, d. h. n=p+q=2.
	Der allgemeine Beweis verl"auft analog. \\ $ $\\
	Aus $ p=q=1 \Rightarrow \ Q_1 = I_1 $ und $Q_2 = I_2 $ sind
	Intervalle.
	\begin{lem}{lem1}
		Sei $ \varphi \in \mathcal{T}(Q)$ und $ Q = I_1 \times I_2 
		\\
		 \Rightarrow \int\limits_Q \varphi(x,y)\ d(x,y)\ =
		\int\limits_{I_2}(\int\limits_{I_1} \varphi (x,y)\ dx)dy $\\
	{\bf Beweis :}\\
	Treppenfunktionen sind R-intbar.\\
	Damit folgt das Lemma aus dem Satz "uber iterierte Integration.
	\end{lem}
	\begin{lem}{lem2}
		Sei $N \subset \mathds{R}^2 $ Nullmenge. Dann ist f"ur fast alle $y \in \mathds{R} $
		die Menge :
		$$
			N(y)\:= \left\{ y \mid (x,y)\ \in N \right\}
		$$
		eine Nullmenge in $\mathds{R} $ \\ $ $\\
		{\bf Beweis :} \\ $ $\\
			Sei $ Q = \mathds{R}^2$. Nach einer Folgerung analog zu Satz aus Analysis II (w"ortlich aus der
			Vorlesung) $ \exists \ \hbox{momoton} \nearrow \hbox{Folge } (\varphi_n) \subset
			\mathcal{T}(\mathds{R}^2) $ mit beschr"ankter Integralfolge $\left( \int\limits_{\mathds{R}^2}
			\varphi_n (x,y)\ d(x,y)\ \right)_{n \in \mathds{N}} $, so dass  $ \left( \varphi_n (x,y)\
			\right)_{n \in \mathds{N}} \ $ divergent $ \forall (x,y) \in N $
			\\ $ $\\
			Sei $ y \in \mathds{R}^2 $ fest. Die Folge von Funktionen $$ \psi_n (y)\ :=
			\int\limits_{\mathds{R}} \varphi_n (x,y)\ dx $$ ist monoton wachsend.
			\\ $ $\\
			Ihre Integralfolge $\left( \int\limits_{\mathds{R}} \psi_n (y)\ dy \right) \ $ 
			ist beschr"ankt, denn nach Lemma 1 ist 
			$$
			\left(\int\limits_{\mathds{R}} \psi_n (y)\ dy \right)_{n \in \mathds{N}} =
			\int\limits_{\mathds{R}}( \int\limits_{\mathds{R}}
			\varphi_n (x,y)\ dx)dy \stackrel{L1}{=} \int\limits_{\mathds{R}^2} \varphi_n (x,y)\d(x,y)\ 
			$$
			 $ $\\
			Satz von Levi $\Rightarrow (\psi_n)_{n \in \mathds{N}}\ $ konvergiert f. "u. auf
			$\mathds{R}.$
			\\$ $\\
			Sei $ y_0 \in \mathds{R}$, so dass $ (\psi_n (y_0))_{n \in \mathds{N}} \ $ konvergent.\\
			Satz von Levi $\Rightarrow \ (\varphi_n (x,y_0))_{n \in \mathds{N}} \ $ divergiert h"ochstens auf
			einer Nullmenge.
			\\
			Aber $ (\varphi_n (x,y_0))_{n \in \mathds{N}} \ $ divergiert auf $N(y_0)$
			\\ $ $\\
			$\Rightarrow N(y_0) \ $ ist Nullmenge in $\mathds{R}$
		\end{lem}
	 $ $\\
	{\bf Beweis (Satz von Fubini) :}\\ $ $\\
	O.B.d.A. $ f$$\:\in\:$$\mathcal{L}^+(Q)\ $
	\\
	(denn ist der Satz f"ur $ \mathcal{L}^+ (Q) \ $ bewiesen und $ g
	\in \mathcal{L}$, so ist $ g= f_1 -f_2 $ mit $ f_1 , f_2 \in \mathcal{L}^+(Q)
	\\
	\Rightarrow\int\limits_Q g\ d(x,y)\ = \int\limits_Q f_1 d(x,y)\ - \int\limits_Q f_2 d(x,y)\ =
	 \int\limits_{Q_1} \int\limits_{Q_2} f_1 dx dy -
	\int\limits_{Q_1} \int\limits_{Q_2} f_2 dx dy = \int\limits_{Q_1} \int\limits_{Q_2} g\ dx dy $)
	\\ $ $\\
	Aus der Definition f"ur L-Integrale $ \Rightarrow  \exists \ \hbox{monoton} \ \nearrow \
	\hbox{Folge} (\varphi_n) \in \mathcal{T} (Q) \ $ mit 
	\begin{enumerate}
		\item[(i)]  $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \varphi_n = f \ $ f. "u.
		\item[(ii)] $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_Q \varphi_n d(x,y)=
		\int\limits_Q f\ d(x,y)$ \hfill (1)
	\end{enumerate}
	 Sei $\psi_n (y)\ := \int\limits_{Q_1} \varphi_n (x,y)\ dx $. Die Folge $ (\psi_n)\ $ ist monoton $
	 \nearrow $ \\
	 Lemma 1 $ \Rightarrow \int\limits_{Q_2} \psi_n (y)\ dy = \int\limits_Q
	 \varphi_n (x,y)\ d(x,y)\ $ \hfill (2)\\
	 $\Rightarrow \ $ Die Integralfolge $\left( \int\limits_{Q_2 } \psi_n (y)\ dy \right)_{n \in \mathds{N}}
	 $ konvergiert, ist also beschr"ankt.\\
	 Satz von Levi $ \Rightarrow (\psi_n(y))_{n \in \mathds{N}} $ konvergiert f. "u. auf $ Q_2 $ \\
	 $ $\\
	 $ N:= \left\{ (x,y)\in Q \mid (\varphi_n (x,y))_{n \in \mathds{N}} \hbox{ divergent}
	 \right\} $
	 ist Nullmenge
	 \\ $ $ \\
	 Lemma 2 $ \Rightarrow \ $ f"ur fast alle $y \in Q_2 \hbox{ ist } N(y)\:= \left\{ x \mid (x,y)\ \in N
	 \right\} \ \hbox{eine Nullmenge in} \ Q_1 $.\\ $ $ \\
	 Sei $ y_0 \in Q_2 $, so dass gilt: $ N(y_0) \ $ ist Nullmenge und $ ( \psi_n(y_0))_{n \in
	 \mathds{N}} \ $ konvergiert.\\
	 Dann $ \exists \ $ Nullmenge $N_0 \subset Q_2 $, so dass $ \forall y_0 \in Q_2 \setminus N_0 $
	 das eben gesagte gilt. \\
	 $\Rightarrow (\varphi_n (x,y_0)) \ $ konvergiert von unten gegen $ f(x,y_0) \ \ \forall x \in Q_1
	 \setminus N(y_0) $
	 \\ $ $\\
	 Nach Def. des L - Integrals "uber $ Q_1 $ $\Rightarrow$
	 $$
	 \int\limits_{Q_1} f(x,y_0) dx \stackrel{\exists}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{Q_1} \varphi_n
	 (x,y_0) dx = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \psi_n (y_0)
	 $$
	 Setze $ g(y)\ := \left\{\begin{array}{c l}
									\int\limits_{Q_1} f(x,y)\ dx = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \psi_n (y)&
									\forall y\in Q_2 \setminus N_0 \\
									0&
									\forall y \in N_0\\
									\end{array}
							\right.$
							\hfill (3)\\ $ $\\ $ $\\
	Wir haben bewiesen: \\
	Die Folge $ (\psi_n )_{n \in \mathds{N}} $ ist monoton
	wachsend mit $ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \psi_n (y)\
	= g(y)\ $ f."u. und es gilt:
	$$
		\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{Q_2} \psi_n (y)\ dy
		\stackrel{(2)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int\limits_Q \varphi_n (x,y)\
		d(x,y)\ \stackrel{(1)}{=} \int\limits_Q f(x,y)\ d(x,y)\ \hfill (4)
	$$
	Satz von Levi $\Rightarrow g \in \mathcal{L}(Q_2) \ $ und es
	gilt:
	$$
		\int\limits_{Q_2} \int\limits_{Q_1} f(x,y)\ dx dy \stackrel{(3)}{=} \int\limits_{Q_2} g
		(y)\ dy \stackrel{(4)}{=} \int\limits_Q f (x,y)\ d(x,y)\
	$$
	\end{document}
