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\lhead{24. November 2004}
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\rhead{\bfseries Vorlesung 11}

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\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

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\title{Vorlesung 11}
\date{Mo., 24.11.2004}
\begin{document}

\section*{§9 Das Lebesgue-Ma"s}

Sei $X$ eine Menge (sp"ater: $X = \setR^n$).  Dann ist
\[
\powSet(X) := \{ M \mid M \subseteq X \}
\]
die Potenzmenge von $X$.

\begin{paragraph}{Definition:}
$\Sigma\subset\powSet(X)$ hei"st $\sigma$-Algebra $:\equival$
\begin{enumerate}
\item $X\in\Sigma$
\item $M\in\Sigma \equival  X \setminus  M \in \Sigma$
\item $M_i \in \Sigma \quad\forall i\in\setN \implic \bigcup_{i\in I} M_i \in \Sigma$
\end{enumerate}
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Lemma 9.1:}
Sei $\Sigma\subset\powSet(X)$ eine $\sigma$-Algebra.  Dann gilt:
\begin{enumerate}
\item $\emptyset \in \Sigma$.
\item $M_i \in \Sigma \quad\forall i\in\setN   \implic  \bigcap_{i=1}^\infty M_i \in \Sigma$.
\end{enumerate}

\underline{Beweis}:
\begin{enumerate}
\item $\emptyset = X \setminus  X \in \Sigma$.
\item $\displaystyle N_i := X \setminus  M_i  \in \Sigma $  nach 2.
\\
$\displaystyle \implic \bigcap_{i=1}^\infty M_i = \bigcup_{i=1}^\infty N_i \in \Sigma$
\\
$\displaystyle\displaystyle  \implic \bigcap_{i=1}^\infty M_i \in \Sigma$.
\end{enumerate}
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Lemma 9.2:}
Seien $\{ \Sigma_\alpha | \alpha \in I\}$ $\sigma$-Algebren von $X$.  Dann ist 
$\bigcap_{\alpha \in I} \Sigma_\alpha$
ebenfalls eine $\sigma$-Algebra.

\underline{Beweis}: Klar.
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Korollar:}  Sei $\mathcal F \subset \powSet(X)$ eine Familie von Teilmengen.
$\implic \exists $ eindeutig bestimmte kleinste $\sigma$-Algebra $\overline{\mathcal F}$ mit
$\mathcal F \subset \overline{\mathcal F}$.
$\overline{\mathcal F}$ hei"st die von $\mathcal F$ erzeugte
$\sigma$-Algebra.

\underline{Beweis}: $\powSet(X)$ ist $\sigma$-Algebra mit $\mathcal F \subset \powSet(X)$.
Die Behauptung folgt dann aus Lemma 9.2, da $\mathcal F \subset \bigcap\{\text{gewisse Elemente aus $\powSet$}\}$.
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Beispiel:} $\mathcal F = \{ \text{offene Teilmengen von $\setR^n$} \}$
\[
B := \overline{\mathcal F} = \text{$\sigma$-Algebra der \textsc{Borel}-Mengen von $\setR^n$}.
\]
\end{paragraph}
\begin{paragraph}{Definition:} Ein Ma"s auf einer $\sigma$-Algebra $\Sigma$ ist eine Funktion
\[
	\mu: \Sigma \rightarrow \setR^+ \cup \{\infty\},
\]
so dass gilt:
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \mu(\emptyset) = 0.$
\item $\displaystyle \mu\left(\bigcup_{\nu=1}^\infty A_\nu\right) = \sum_{\nu=1}^\infty \mu(A_\nu).$
\end{enumerate}
f"ur paarweise disjunkte $A_\nu \in \Sigma$.
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Lemma 9.3:}  Sei $\mu$ ein Ma"s auf $\Sigma$, $A, B, A_i \in \Sigma$.
\begin{enumerate}
\item $A\subset B \implic \mu(A) \leq \mu(B)$.
\item $\mu(A)+\mu(B) = \mu(A\cup  B) + \mu(A\cap  B)$.
\item $\displaystyle \mu\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \leq \sum_{i=1}^n \mu(A_i).$
\end{enumerate}

\underline{Beweis}:
\begin{enumerate}
\item $B = A \dot\cup (B\setminus  A)$ \implic $\mu(B) 
= \mu(A) + \underbrace{\mu(B\setminus  A)}_{\geq 0} \geq \mu(A)$

\item $\displaystyle A\cup  B = (A\cap  B)\dot\cup\big(B\setminus  (A\cap  B)\big)\dot\cup\big(A\setminus  (A\cap  B)\big)$

$\displaystyle \implic  \mu(A\cup  B) = \mu(A\cap  B) + \mu\big(B\setminus  (A\cap  B)\big) + \mu\big(A\setminus  (A\cap  B)\big)$

$\begin{aligned}
\implic \mu(A) + \mu(B) &= \mu\big(A\setminus  (A\cap  B)\big) + 2\mu(A\cap  B) + \mu\big(B\setminus  (A\cap  B)\big)
%
\\ & = \mu(A\cup  B) + \mu(A\cap  B)
 \end{aligned}$

\item Folgt induktiv.
\end{enumerate}
\end{paragraph}

Ziel ist es nun, zu zeigen, dass das \textsc{Lebesgue}-Integral ein Ma"s auf
der $\sigma$-Algebra der \textsc{Borel}-Mengen von $\setR^n$ ist.

$f \in \mathcal L (Q) \implic f = f_1-f_2$: $\exists$
monoton steigende Folgen $\varphi_n, \psi_n \in \mathcal{T}(Q)$ mit
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \varphi_n  = f_1$, $\lim_{n\rightarrow\infty} \psi_n  = f_2$ f."u.

\item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \int_Q \varphi \diff x =: \int_Q f_1 \diff x$

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \int_Q \psi \diff x =: \int_Q f_2 \diff x$

\end{enumerate}

Es folgt: $f \in \mathcal L (Q)$ \implic $\exists$ Folge $g_n \in \mathcal{T}(Q)$ mit
$\lim_{n\rightarrow\infty} g_n = f$ f."u.

(Vorsicht: Die Umkehrung gilt i.~A. nicht!)

\begin{paragraph}{Definition:}  $f: Q\rightarrow\setR$ hei"st messbar $:\equival$
$\exists$ Folge $\varphi_n \in \mathcal{T}(Q)$ mit \[\lim_{n\rightarrow\infty} \varphi_n = f \quad \text{f."u.}\]

Der $\setR$-Vektorraum der messbaren Funktionen auf $Q$ hei"st $\mathcal M (Q)$.
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Satz 9.3:}  $\mathcal{L}(Q) \subseteq \mathcal{M}(Q)$.

\underline{Beweis}: Siehe oben.
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Satz 9.4:}  \begin{enumerate}
\item $f \in \mathcal{M}(Q), |f| \leq g \in \mathcal{L}(Q) \implic f \in \mathcal{L}(Q)$
\item $f, g \in \mathcal{M}(Q) \implic \begin{cases}
f \pm g \in \mathcal{M}(Q) \\
f \cdot g \in \mathcal{M}(Q) \\
\operatorname{max}(f, g) \in \mathcal{M}(Q) \\
|f| \in \mathcal{M}(Q)
\end{cases}$

Au"serdem, falls $f \not= 0$ f."u. ist: $g \in \mathcal{M}(Q) $ mit \[g(x):= \begin{cases}
\frac{1}{f(x)} & \text{falls $f(x)\not= 0$} \\
0              & \text{sonst}
\end{cases}\]

\underline{Beweis}:  W"ortlich wie in Analysis II §14.
\end{enumerate}
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Definition:}  F"ur $p\in\setR, p \geq 1$, $f \in \mathcal{M}(Q)$
definiere die $p$-Norm von $f$ durch
\[
\norm{f}_p = \left( \int_Q \left|f\right|^p \right)^{\frac 1 p}
\]
Def. $\displaystyle \mathcal{L}^p(Q) := \big\{ f \in \mathcal{M}(Q) \big| |f|^p \in \mathcal{L}(Q) \big\}$.
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Satz 9.5:}  $\mathcal{L}^p(Q)$ ist ein \textsc{Banach}raum.

\underline{Beweis}:  Wie in Analysis II §14.

Genauer: $\mathcal{L}^p(Q)/\#$ ist ein \textsc{Banach}raum, wobei $f\#g :\equival f = g \text{ f."u.}$
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Definition:}  Eine Menge $M \subset \setR^n$ hei"st \textsc{Lebesgue}-messbar
$:\equival$ $\chi_M$ ist messbar.
%
Ist $M$ messbar, so setzt man
\[
\mu(M) := \begin{cases}
\int_{\setR^n} \chi_M \diff x & \text{falls $\chi_M \in \mathcal{L}(\setR^n)$} \\
\infty & \text{sonst} \end{cases}
\]
$\mu$ hei"st \textsc{Lebesgue}-Ma"s von $M$ bzw. das Ma"s von $M$.
Im Unterschied hierzu ist das Ma"s aus §3 das \textsc{Jordan}-Ma"s.
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Satz 9.5:}  $\mu(M) = 0 \equival M \text{ ist Nullmenge}$.

\underline{Beweis}:  $M$ ist Nullmenge \equival  $\chi_M = 0$ f."u. \equival $\int_{\setR^n} \chi_M(x) \diff x = 0$
nach Analysis II Kor. 2 aus dem Konvergenzsatz von \textsc{Levi}.
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Lemma 9.6:}  \begin{enumerate}
\item $\mu(\emptyset) = 0$
\item $M_\nu \in \setR^n$ messbar und paarweise disjunkt $\forall \nu \in \setN$.
Dann:
\[\mu\left( \bigcup_{\nu=1}^\infty M_\nu \right) = \sum_{\nu = 1}^\infty \mu(M_\nu)\]
Hierbei ist definiert: $a+\infty = \infty \quad\forall a\in\setR$ und $\infty+\infty = \infty$.
\end{enumerate}

\underline{Beweis}: \begin{enumerate}
\item Satz 9.5.
\item folgt aus der Def. des \textsc{Lebesgue}-Integrals als Grenzwert von Integralen
"uber Treppenfunktionen.
\end{enumerate}
\end{paragraph}

Sei $\Sigma$ die Menge der \textsc{Lebesgue}-messbaren Teilmengen des $\setR^n$.

\begin{paragraph}{Satz 9.7:}  $\Sigma$ ist eine $\sigma$-Algebra und das \textsc{Lebesgue}-Ma"s
ist ein Ma"s auf $\Sigma$.

\underline{Korollar}:  Das \textsc{Lebesgue}-Ma"s eingeschr"ankt auf die $\sigma$-Algebra
der \textsc{Borel}-Mengen ist ein Ma"s.

\underline{Beweis}:
\begin{enumerate}

\item $\setR^n \subset \Sigma$, denn z.~z. $\exists$ Folge von Treppenfunktionen
$(\varphi_n) \subset \mathcal{T}(\setR^n)$ mit $\lim_{n\rightarrow\infty} \varphi_n = \chi_{\setR^n} \equiv 1$.

Sei $Q_n := \big\{ x \in\setR^n \big| \abs{x_i} \leq n \quad\forall i\big\}$ = W"urfel um 0 mit
Kantenl"ange $2n$.

$\varphi_n := \chi_{Q_n} \in \mathcal{T}(I)$.  $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \varphi_n \equiv 1$.

\item $M \subset \Sigma \equival \setR^n \setminus  M \subset \Sigma$, denn: 
Gen"ugt zu zeigen: $M \subset  \Sigma$ \implic  $\setR^n \setminus  M \subset \Sigma$.

$\chi_M$ messbar.  \implic  $\chi_{\setR^n \setminus  M} = \chi_{\setR^n} - \chi_M$ ist messbar nach 1. und Satz 9.4
($\mathcal{M}$ ist ein Vektorraum).

\item $\displaystyle M_i \in \Sigma \quad\forall i \in \setN \implic \bigcup_{\nu = 1}^\infty M_\nu  \in \Sigma $,
denn:

Setze $N_\nu := M_1 \cup M_2 \cup \cdots \cup M_\nu \quad\forall \nu \in \setN$.

$\implic N_1 \subset N_2 \subset \cdots $ mit $\displaystyle \bigcup_{\nu=1}^\infty N_\nu = \bigcup_{\nu=1}^\infty M_\nu$.

$\implic \displaystyle \bigcup_{\nu=1}^\infty M_\nu = N_1 \dot\cup (N_2 \setminus  N_1) \dot\cup (N_3 \setminus  N_2) \dot\cup \cdots$

$N_\nu$ messbar nach Satz 9.4 (3., endliche Vereinigung messbarer Mengen).

\implic $N_\nu \setminus  N_{\nu-1}$ messbar (denn $\chi_{N_v \setminus  N_{\nu-1}} = \chi_{N_\nu} - \chi_{N_{\nu-1}}$).

Mit Lemma 9.6 (2.) \implic $\displaystyle \bigcup_{\nu=1}^\infty M_\nu $ messbar.

\item $\mu(\emptyset) = 0$, denn $\displaystyle \mu(\emptyset) = \int_{\setR^n} 0 \cdot \diff x = 0$.

\item Sind $A_\nu \in \Sigma$ paarweise disjunkt, so ist $\displaystyle \mu\left(\bigcup A_\nu\right) = \sum_{\nu=1}^\infty \mu(A_\nu)$.

Dies folgt aus Lemma 9.6 (2.)

\end{enumerate}

\end{paragraph}



\end{document}