\documentclass[12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{latexsym} \usepackage{ngerman} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb} \usepackage{dsfont} \usepackage{graphicx} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{lange} \usepackage{a4wide} \usepackage{theorem} \usepackage{mathrsfs} \pagestyle{fancy} \lhead{29. November 2004} \chead{} \rhead{\bfseries Vorlesung 12} \renewcommand{\baselinestretch}{1.3} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \newcounter{Aussage} % 1 ------Counter 2 --- 3 Verweisname \newenvironment{beh}[3][~]{ \bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt \refstepcounter{Aussage} \label{Aussage:#3} {\bf \underline{#1 10.\arabic{Aussage}}}: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par} % 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname \newenvironment{sonst}[3][~]{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt \label{#1:#3} {\bf \underline{#1}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par} % 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname \newenvironment{bew}{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt {\underline{Beweis}} : \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\begin{flushright}\qedsymbol\end{flushright}\end{quote} \medskip \par} \DeclareRobustCommand*{\calpha}{\Comp^{\alpha}} \begin{document} \section*{§10 Dif\/ferenzierbare Untermannigfaltigkeiten} \begin{sonst}[Def.]{}{} $M\subset\setR^n$ heißt dif\/ferenzierbare Untermannigfaltigkeit der Dimension $k$ $:\equival$\\ zu jedem $a\in{M}$ $\exists$ of\/fene Umgebung $U\subset\setR^n$ und stetig dif\/fbare Funktionen \[ f_1,\ldots,f_{n-k}:U\rightarrow\setR \] s.d. gilt: \begin{itemize} \item[(a)] $M\cap{U}=\left\{x\in{U}\mid{f}_1\left(x\right)=\ldots=f_{n-k}\left(x\right)=0\right\}$ \item[(b)] $Rg\partialOpFrac{\left(f_1,\ldots,f_{n-k}\right)}{\left(x_1,\ldots,x_n\right)}\left(a\right)=n-k$ \end{itemize} \end{sonst} $ $\\ Hierbei ist \[ \partialOpFrac{\left(f_1,\ldots,f_{n-k}\right)}{\left(x_1,\ldots,x_n\right)}\left(a\right)= \begin{pmatrix} \partialOpFrac{f_1}{x_1}&\cdots&\partialOpFrac{f_1}{x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \partialOpFrac{f_{n-k}}{x_1}&\cdots&\partialOpFrac{f_{n-k}}{x_n}\\ \end{pmatrix}= \diffOpFrac{f}{x} \] $\diffOpFrac{f}{x}$ ist die Funktionalmatrix von $f=\left(f_1,\cdots,f_{n-k}\right)^t: \setR^n\rightarrow\setR^{n-k}$\\ Bed. $\left(b\right)\equival\ \gradient{f}_1,\ldots,\gradient{f}_{n-k}$ sind lin. unabhängig über $\setR$ in a. \begin{sonst}[Def.]{}{} $M\subset\setR^n$ dif\/fbare Untermannigfaltigkeit \underline{der Klasse $\Comp^\alpha$} der Dimension $k$, wenn zusätzlich $f_1,\ldots,f_{n-k}\in\Comp^\alpha(U)\left(1\leq\alpha\leq\infty\right)$ \end{sonst} \begin{sonst}[Beispiel]{}{} $\left(n-1\right)$-dim. Umfk. $\subset\setR^n$ = Hyperfläche im $\setR^n$ =\\ lokal definiert durch eine Funktion $f:\setR^n\rightarrow\setR$ mit $\gradient{f}\neq\left(0,\ldots,0\right)$ \end{sonst} \begin{sonst}[Beispiel]{}{} $S_{n-1}:=\left\{x\in\setR^n\mid\left|\left|x\right|\right|=1\right\}$, denn mit $f\left(x\right):=x_1^2+\ldots+x_n^2-1$ gilt: \[ S_{n-1}=\left\{x\in\setR^n\mid{f}\left(x\right)=0\right\} \] und $\gradient{f}=\left(2x_1,\ldots,2x_n\right)\neq\left(0,\ldots,0\right)$ \end{sonst} \begin{beh}[Satz]{}{} Sei $M\subset\setR^n$ $k$-dim. Umfk. der Klasse $\Comp^\alpha$ und $a=\left(a_1,\ldots,a_n\right)\in\setR^n$. Nach eventueller Umnummerierung der Koordinaten gibt es of\/fene Umgebungen \[ U'\subset\setR^k\hbox{ von }a'=\left(a_1,\ldots,a_k\right) \] \[ U''\subset\setR^{n-k}\hbox{ von }a''=\left(a_{k+1},\ldots,a_n\right) \] und $\alpha$-mal stetig dif\/fbare Abbildung $g:U'\rightarrow{U}''$, s.d. gilt: \[ M\cap\left(U'\times{U''}\right)=\left\{\left(x',x''\right)\in\setR^n\mid{x}''=g\left(x'\right)\right\} \] Dabei $x'=\left(x_1,\ldots,x_k\right)$, $x''=\left(x_{k+1},\ldots,x_n\right)$\\ \underline{M.a.W.} : $k$-dim. Umfk. des $\setR^n\stackrel{lokal}{=}$ Graph einer Abb. von $k$ Variablen \end{beh} \begin{bew} $\exists$ of\/fene Umgebung $U$ von $a$ und $\alpha$-mal stetig dif\/fbare Abbildung\\ $f=\left(f_1,\ldots,f_{n-k}\right):U\rightarrow\setR^{n-k}\hbox{ mit}$ \[ M\cap{U}=\left\{x\in{U}\mid{f}\left(x\right)=0\right\}\hbox{ und} \] \[ Rg\diffOpFrac{f}{x}\left(a\right)=n-k \] $\Rightarrow$ Für mind. ein $\left(n-k\right)$-Tupel $1\leq{i_1}\leq{i_2}\leq\ldots\leq{i_{n-k}}\leq{n}$ gilt: \[ \det\partialOpFrac{\left(f_1,\ldots,f_{n-k}\right)}{\left(x_{i_1},\ldots,x_{i_{n-k}}\right)}\left(a\right)\neq{0} \] Stetigkeit der Funktionaldeterminante $\Rightarrow$\\ $\OE\ \det\partialOpFrac{\left(f_1,\ldots,f_{n-k}\right)}{\left(x_{i_1},\ldots,x_{i_{n-k}}\right)}\neq{0}$ auf ganz U (eventuell U verkleinern)\\ Umnummerierung: $\OE\ \left(i_1,\ldots,i_{n-k}\right)=\left(k+1,\ldots,n\right)$\\ $ $ \\ Satz über implizite Funktionen $\Rightarrow$\\ $\step$ $\exists$ Umgebungen $U'$ von $a'$ und $U''$ von $a''$ mit $U'\times{U}''\subset{U}$, sowie stetig\\ $\step$ dif\/fbare Abbildung $g:U'\rightarrow{U}''$ mit \[ M\cap\left(U'\times{U}''\right)=\left\{\left(x',x''\right)\in{U}'\times{U}''\mid{x''}=g\left(x'\right)\right\} \] Für die Funktionalmatrix von $g$ gilt: \[ \diffOpFrac{g}{x'}=-\partialOpFrac{f}{x'}\cdot\left(\partialOpFrac{f}{x''}\right)^{-1} \] Da alle Komponenten der Matrizen $\partialOpFrac{f}{x'}$ und $\partialOpFrac{f}{x''}$ $\left(\alpha-1\right)$-mal stetig dif\/fbar sind $\implic$ $g$ $\alpha$-mal stetig dif\/fbar. \end{bew} \begin{sonst}[Beispiel]{}{} \begin{minipage}{6.5cm} $S_{n-1}=\left\{x\in\setR^n\mid\left|\left|x\right|\right|=1\right\}$\\ $a=\left(a_1,\ldots,a_n\right)\in{S}_{n-1}$ mit $a_n>0$\\ Setzen: $U'=\left\{x'\in\setR^{n-1}\mid\left|\left|x'\right|\right|<1\right\}$\\ und \[ g:\left\{ \begin{array}{l} U'\rightarrow\setR_{+}^{*}=:U''\\ \left(x_1,\ldots,x_{n-1}\right)\mapsto\sqrt{1-x_1^2-\ldots-x_{n-1}^2} \end{array}\right. \] \end{minipage} \hspace{2cm} \begin{minipage}{6.5cm} \includegraphics{bild1.pdf}%Bild1 \end{minipage}\\ $S_{n-1}\cap\left(U'\times{U}''\right)=\left\{\left(x',x''\right)\in{U}'\times{U}'' \mid{x_n}=g\left(x'\right)\right\}$ \end{sonst} \begin{beh}[Satz]{}{} Sei $E_k:=\left\{\left(x_1,\ldots,x_n\right)\in\setR^n\mid{x}_{k+1}=\ldots=x_n=0\right\}=\ k$-Ebene in $\setR^n$\\ Aquivalent sind: \begin{enumerate} \item $M\subset\setR^n$ $k$-dim. Umfk. der Klasse $\Comp^{\alpha}$ \item $\forall{a}\in{M}$ $\ \exists$of\/fene Umgebung $U\subset\setR^n$ und $\Comp^{\alpha}$-invertierbare Abb.\\ $f:U\rightarrow{V}$ auf eine of\/fene Menge $V\subset\setR^n$, s.d. \[ F\left(M\cap{U}\right)=E_k\cap{V} \] \end{enumerate} \underline{Also}: $k$-dim. Umfk. von $\setR^n$ verhalten sich lokal wie $k$-Ebenen in $\setR^n$\\ Hierbei heißt $F:U\rightarrow{V}$ $\ \Comp^{\alpha}$-invertierbar\\ $:\equival$ F bijektiv und $F$ sowie $F^{-1}$ von der Klasse $\Comp^{\alpha}$\\ \includegraphics{bild2.pdf}%Bild2 %\vspace*{3.5 cm} \end{beh} \begin{bew} $\underline{\left(1\right)\implic\left(2\right)}$: Sei $M\subset\setR^n$ $k$-dim. Umfk. und $a\in{M}$\\ \hspace*{0.3cm} Satz 10.1 $\implic\ {M}=$ Graph einer Abb. $g$ in Umg. von $a$, d.h. \begin{center} $ M\cap\left(U'\times{U}''\right)=\left\{\left(x',x''\right)\in{U}'\times{U}''\mid{x''}=g\left(x'\right)\right\} $ \end{center} \begin{sonst}[Def.]{}{} \[ F:\left\{ \begin{array}{l} U=U'\times{U}''\rightarrow\setR^n\\ \left(x',x''\right)\mapsto\left(x',x''-g\left(x'\right)\right) \end{array} \right. \] \end{sonst} \hspace*{0.3cm} Sei $V=F\left(U\right)$, $V\subset\setR^n$ of\/fen und F ist Dif\/feomorphismus der Klasse $\calpha$ mit \begin{center} $ F\left(M\cap{U}\right)=V\cap{E}_k $ \end{center} \begin{sonst}[Def.]{}{} $U\subset\setR^n$, $V\subset\setR^n$ of\/fen\\ $F:U\rightarrow{V}$ heißt Dif\/feomorphismus der Klasse $\calpha$, falls F bijektiv und $F$ und $F^{-1}$ $\left(\alpha-1\right)$-mal stetig dif\/fbar \end{sonst} $\underline{\left(2\right)\implic\left(1\right)}$: Sei $F=\left(F_1,\ldots,F_n\right):U\rightarrow{V}$ $\ \ \calpha$-invetierbar mit \[ F\left(M\cap{U}\right)=E_k\cap{V}\hbox{ gegeben } \] \hspace*{0.3cm} $\implic{M}\cap{U}=\left\{x\in{U}\mid{F}_{k+1}\left(x\right)=\ldots=F_n\left(x\right)=0\right\}$ und \[ Rg\partialOpFrac{\left(F_{k+1},\ldots,F_n\right)}{\left(x_1,\ldots,x_n\right)}=n-k,\hbox{ denn} \] \[ Rg\diffOpFrac{\left(F_1,\ldots,F_n\right)}{\left(x_1,\ldots,x_n\right)}=n\implic\hbox{ Beh.} \] \end{bew} \underline{Top. Raum} $\setR^n=$ top. Raum $M\subset\setR^n$\\ \hspace*{0.6cm}\underline{induzierte Topologie} von $M$: \begin{sonst}[Def.]{}{} $V\subset{M}$ of\/fen $\equival$ $\exists$ of\/fene Menge $U\subset\setR^n$ mit $V=M\cap{U}$\\ M ist top. Raum, denn \begin{itemize} \item[(i)] \underline{$\varnothing,M$ of\/fen}(da $\varnothing_{M}=M\cap\varnothing_{\setR^n}$, $M=M\cap{\setR^n}$) \item[(ii)] \underline{$V_1,V_2\subset{M}$ of\/fen}, d.h. $\exists{U}_1,{U}_2\subset\setR^n$ of\/fen mit $V_1=U_1\cap{M}$, $V_2=U_2\cap{M}$\\ $\implic$\underline{$V_1\cap{V}_2$}= $\left(U_1\cap{M}\right)\cap\left(U_2\cap{M}\right)=\left(U_1\cap{U_2}\right)\cap{M}$ \underline{of\/fen} \item[(iii)] \underline{$V_i\left(i\in{I}\right)$ of\/fen} in $M$, d.h. $V_i=U_i\cap{M}$, $U_i$ of\/fen im $\setR^n$\\ $\implic\bigcup\limits_{i\in{I}}V_i=\bigcup\limits_{i\in{I}}\left(U_i\cap{M}\right)= \left(\bigcup\limits_{i\in{I}}U_i\right)\cap{M}$, also of\/fen in M \end{itemize} \end{sonst} \begin{beh}[Lemma]{}{} Sei $K\subset{M}$ Teilmenge\\ Äquvalent sind: \begin{enumerate} \item $K$ ist kompakt in $M$ \item $K$ ist kompakt in $\setR^n$ \end{enumerate} \end{beh} \begin{bew} $\underline{\left(2\right)\implic\left(1\right)}$: Sei $K=\bigcup\limits_{i\in{I}}V_{i}$ bel. of\/fene Überdeckung von $K$ in $M$\\ \underline{z.z.}: $\exists{i}_1,\ldots,i_n\in{I}:K=\bigcup\limits_{k=1}^{n}V_{i_k}$\\ $V_i$ of\/fen in M, d.h. $\exists{U}_i$ of\/fen in $\setR^n$ mit $V_i=M\cap{U}_i$\\ $\implic\bigcup\limits_{i\in{I}}U_i$ ist of\/fene Überdeckung von K in $\setR^n$\\ $K$ kompakt in $\setR^n\implic\ \exists{i}_1,\ldots,i_n\in{I}$, s.d. $K\subset{U}_{i_1}\cup\cdots\cup{U}_{i_k}$\\ $\implic$ $K\subset\left({U}_{i_1}\cup\cdots\cup{U}_{i_k}\right)\cap{M}=V_{i_1}\cup\cdots\cap{V}_{i_n}$\\ $ $ \\ $\underline{\left(1\right)\implic\left(2\right)}$: Analog \end{bew} Sei $T\subset\setR^k$ of\/fen \begin{sonst}[Def.]{}{} $\varphi:T\rightarrow\setR^n$ stetig dif\/fbar heißt \underline{Immersion}, falls \[ Rg\diffOpFrac{\varphi}{x}\left(x\right)=k\ \ \forall{x}\in{T} \] \end{sonst} \begin{minipage}{6cm} \begin{sonst}[Beispiel]{}{} $\varphi{:}\left\{ \begin{array}{l} \setR\rightarrow\setR^2\\ t\mapsto(\underbrace{t^2-1}_{\varphi_1},\underbrace{t\left(t^2-1\right)}_{\varphi_2}) \end{array} \right.$ \end{sonst} \end{minipage} \hspace{2cm} \begin{minipage}{7cm} \includegraphics{bild3.pdf}%Bild3 \end{minipage}\\ \[ \diffOpFrac{\varphi}{t}=\left(\diffOpFrac{\varphi_1}{t},\diffOpFrac{\varphi_2}{t}\right)= \left(2t,3t^2-1\right)\neq\left(0,0\right)\implic\ \varphi\hbox{ ist Immersion} \] $\step$Aber $\varphi$ ist nicht injektiv, denn $\varphi\left(1\right)=\left(0,0\right)=\varphi\left(-1\right)$ \begin{beh}[Satz]{}{} Sei $\Omega\subset\setR^n$ of\/fen und $\varphi:\Omega\rightarrow\setR^n$ eine Immersion der Klasse $\calpha$\\ $\implic\ \forall{c}\in\Omega$ $\ \exists$ of\/fene Umgebung $T\subset\Omega$, s.d. $\varphi\left(T\right)$ eine $k$-dim. Umfk. \\ der Klasse $\calpha$ des $\setR^n$ ist und $\varphi:T\rightarrow\varphi\left(T\right)$ ist ein Homöomorphismus. \begin{sonst}[Def.]{}{} $f:V\rightarrow{W}$ \underline{Homöomorphismus} top. Räume $V$ und $W$ $:\equival$\\ $f$ bijektiv und $f,f^{-1}$ stetig \end{sonst} \end{beh} \begin{bew} Sei $\varphi=\left(\varphi_1,\ldots,\varphi_n\right):\Omega\rightarrow\setR^n$\\ Da $Rg\diffOpFrac{\varphi}{x}\left(c\right)=K$, so kann man nach ev. Umnummerierung der Koordinaten des $\setR^n$ annehmen, dass $\det\partialOpFrac{\left(\varphi_1,\ldots,\varphi_k\right)}{x_1,\ldots,x_k} \left(c\right)\neq{0}$\\ $ $ \\ Nach Satz über die Umkehrabb. (Analysis II, §6)\\ $\exists$ of\/fene Umgebung $T\subset\Omega\subset\setR^k$ von $c$ und of\/fene Menge $V\subset\setR^n$, s.d. \[ \left(\varphi_1,\ldots,\varphi_k\right):T\rightarrow{V} \] ein $\calpha$-Dif\/feom. ist. \end{bew} \begin{sonst}[Def.]{}{} $\phi:=\left(\phi_1,\ldots,\phi_n\right):T\times\setR^{n-k}\rightarrow{V}\times\setR^{n-k}$ wird def. durch \[ \phi_i\left(t_1,\ldots,t_n\right):=\phi_i\left(t_1,\ldots,t_k\right)\hbox{ für }1\leq{i}\leq{k}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \;\; \] \[ \phi_j\left(t_1,\ldots,t_n\right):=\phi_j\left(t_1,\ldots,t_n\right)+t_j\hbox{ für }k+1\leq{j}\leq{n} \] \end{sonst} $\implic\phi$ ist ein $\calpha$-Dif\/feom. ($\phi^{-1}$ ist gegeben durch $\begin{array}{l} \varphi_i^{-1}\left(t_1,\ldots,t_n\right)\\ t_j-\varphi_j\left(t_1,\ldots,t_n\right) \end{array}$ )\\ $\step$und $\phi\left(T\times\left\{0\right\}\right)=\varphi\left(T\right)$\\ $\step$Satz 10.2 $\implic$ $\varphi\left(T\right)$ ist $k$-dim. Umfk. der Klasse $\calpha$ und $\varphi:T\rightarrow\varphi\left(T\right)$ ist Homöom. \end{document}