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\lhead{29. November 2004}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 12}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

\newcounter{Aussage}

% 1 ------Counter 2 --- 3 Verweisname 
\newenvironment{beh}[3][~]{ \bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\refstepcounter{Aussage} \label{Aussage:#3}
{\bf \underline{#1 10.\arabic{Aussage}}}: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par}

% 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{sonst}[3][~]{\bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\label{#1:#3}
{\bf \underline{#1}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par}

% 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{bew}{\bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
{\underline{Beweis}} : \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\begin{flushright}\qedsymbol\end{flushright}\end{quote} \medskip \par}

\DeclareRobustCommand*{\calpha}{\Comp^{\alpha}}

\begin{document}
\section*{§10 Dif\/ferenzierbare Untermannigfaltigkeiten}
\begin{sonst}[Def.]{}{}
	$M\subset\setR^n$ heißt dif\/ferenzierbare Untermannigfaltigkeit der Dimension $k$ $:\equival$\\
	zu jedem $a\in{M}$ $\exists$ of\/fene Umgebung $U\subset\setR^n$ und stetig dif\/fbare Funktionen
	\[
	f_1,\ldots,f_{n-k}:U\rightarrow\setR
	\]
	s.d. gilt:
	\begin{itemize}
		\item[(a)] $M\cap{U}=\left\{x\in{U}\mid{f}_1\left(x\right)=\ldots=f_{n-k}\left(x\right)=0\right\}$
		\item[(b)] $Rg\partialOpFrac{\left(f_1,\ldots,f_{n-k}\right)}{\left(x_1,\ldots,x_n\right)}\left(a\right)=n-k$
	\end{itemize}
\end{sonst}
	$ $\\
	Hierbei ist 
	\[
	\partialOpFrac{\left(f_1,\ldots,f_{n-k}\right)}{\left(x_1,\ldots,x_n\right)}\left(a\right)=
	\begin{pmatrix}
		\partialOpFrac{f_1}{x_1}&\cdots&\partialOpFrac{f_1}{x_n}\\
		\vdots&\ddots&\vdots\\
		\partialOpFrac{f_{n-k}}{x_1}&\cdots&\partialOpFrac{f_{n-k}}{x_n}\\
	\end{pmatrix}=
	\diffOpFrac{f}{x}
	\]
	$\diffOpFrac{f}{x}$ ist die Funktionalmatrix von $f=\left(f_1,\cdots,f_{n-k}\right)^t:
	\setR^n\rightarrow\setR^{n-k}$\\
	Bed. $\left(b\right)\equival\ \gradient{f}_1,\ldots,\gradient{f}_{n-k}$ sind lin. unabhängig über $\setR$ in a.
\begin{sonst}[Def.]{}{}
	$M\subset\setR^n$ dif\/fbare Untermannigfaltigkeit \underline{der Klasse $\Comp^\alpha$} der Dimension $k$, 
	wenn zusätzlich $f_1,\ldots,f_{n-k}\in\Comp^\alpha(U)\left(1\leq\alpha\leq\infty\right)$
\end{sonst}
\begin{sonst}[Beispiel]{}{}
	$\left(n-1\right)$-dim. Umfk. $\subset\setR^n$ = Hyperfläche im $\setR^n$ =\\
	lokal definiert durch eine Funktion $f:\setR^n\rightarrow\setR$ mit 
	$\gradient{f}\neq\left(0,\ldots,0\right)$
\end{sonst}
\begin{sonst}[Beispiel]{}{}
	$S_{n-1}:=\left\{x\in\setR^n\mid\left|\left|x\right|\right|=1\right\}$, denn mit 
	$f\left(x\right):=x_1^2+\ldots+x_n^2-1$ gilt:
	\[
	S_{n-1}=\left\{x\in\setR^n\mid{f}\left(x\right)=0\right\}
	\]
	und $\gradient{f}=\left(2x_1,\ldots,2x_n\right)\neq\left(0,\ldots,0\right)$
\end{sonst}
\begin{beh}[Satz]{}{}
	Sei $M\subset\setR^n$ $k$-dim. Umfk. der Klasse $\Comp^\alpha$ und $a=\left(a_1,\ldots,a_n\right)\in\setR^n$.
	Nach eventueller Umnummerierung der Koordinaten gibt es of\/fene Umgebungen
	\[
	U'\subset\setR^k\hbox{ von }a'=\left(a_1,\ldots,a_k\right)
	\]
	\[
	U''\subset\setR^{n-k}\hbox{ von }a''=\left(a_{k+1},\ldots,a_n\right)
	\]
	und $\alpha$-mal stetig dif\/fbare Abbildung $g:U'\rightarrow{U}''$, s.d. gilt:
	\[
	M\cap\left(U'\times{U''}\right)=\left\{\left(x',x''\right)\in\setR^n\mid{x}''=g\left(x'\right)\right\}
	\]
	Dabei $x'=\left(x_1,\ldots,x_k\right)$, $x''=\left(x_{k+1},\ldots,x_n\right)$\\
	\underline{M.a.W.} : $k$-dim. Umfk. des $\setR^n\stackrel{lokal}{=}$ Graph einer Abb. von $k$ Variablen
\end{beh}
\begin{bew}
	$\exists$ of\/fene Umgebung $U$ von $a$ und $\alpha$-mal stetig dif\/fbare Abbildung\\
	$f=\left(f_1,\ldots,f_{n-k}\right):U\rightarrow\setR^{n-k}\hbox{ mit}$
	\[
	M\cap{U}=\left\{x\in{U}\mid{f}\left(x\right)=0\right\}\hbox{ und}
	\]
	\[
	Rg\diffOpFrac{f}{x}\left(a\right)=n-k
	\]
	$\Rightarrow$ Für mind. ein $\left(n-k\right)$-Tupel $1\leq{i_1}\leq{i_2}\leq\ldots\leq{i_{n-k}}\leq{n}$ gilt:
	\[
	\det\partialOpFrac{\left(f_1,\ldots,f_{n-k}\right)}{\left(x_{i_1},\ldots,x_{i_{n-k}}\right)}\left(a\right)\neq{0}
	\]
	Stetigkeit der Funktionaldeterminante $\Rightarrow$\\
	$\OE\ \det\partialOpFrac{\left(f_1,\ldots,f_{n-k}\right)}{\left(x_{i_1},\ldots,x_{i_{n-k}}\right)}\neq{0}$ auf 
	ganz U (eventuell U verkleinern)\\
	Umnummerierung: $\OE\ \left(i_1,\ldots,i_{n-k}\right)=\left(k+1,\ldots,n\right)$\\ $ $ \\
	Satz über implizite Funktionen $\Rightarrow$\\
	$\step$ $\exists$ Umgebungen $U'$ von $a'$ und $U''$ von $a''$ mit $U'\times{U}''\subset{U}$, sowie stetig\\
	$\step$ dif\/fbare Abbildung $g:U'\rightarrow{U}''$ mit
	\[
	M\cap\left(U'\times{U}''\right)=\left\{\left(x',x''\right)\in{U}'\times{U}''\mid{x''}=g\left(x'\right)\right\}
	\]
	Für die Funktionalmatrix von $g$ gilt:
	\[
	\diffOpFrac{g}{x'}=-\partialOpFrac{f}{x'}\cdot\left(\partialOpFrac{f}{x''}\right)^{-1}
	\]
	Da alle Komponenten der Matrizen $\partialOpFrac{f}{x'}$ und $\partialOpFrac{f}{x''}$ 
	$\left(\alpha-1\right)$-mal stetig dif\/fbar sind $\implic$ $g$ $\alpha$-mal stetig dif\/fbar.
\end{bew}
\begin{sonst}[Beispiel]{}{}
\begin{minipage}{6.5cm}
	$S_{n-1}=\left\{x\in\setR^n\mid\left|\left|x\right|\right|=1\right\}$\\
	$a=\left(a_1,\ldots,a_n\right)\in{S}_{n-1}$ mit $a_n>0$\\
	Setzen: $U'=\left\{x'\in\setR^{n-1}\mid\left|\left|x'\right|\right|<1\right\}$\\
	und
	\[
	g:\left\{
	\begin{array}{l}
	U'\rightarrow\setR_{+}^{*}=:U''\\
	\left(x_1,\ldots,x_{n-1}\right)\mapsto\sqrt{1-x_1^2-\ldots-x_{n-1}^2}
	\end{array}\right.
	\]
\end{minipage}
	\hspace{2cm}
\begin{minipage}{6.5cm}
	\includegraphics{bild1.pdf}%Bild1
\end{minipage}\\
	$S_{n-1}\cap\left(U'\times{U}''\right)=\left\{\left(x',x''\right)\in{U}'\times{U}''
	\mid{x_n}=g\left(x'\right)\right\}$
\end{sonst}
	\begin{beh}[Satz]{}{}
	Sei $E_k:=\left\{\left(x_1,\ldots,x_n\right)\in\setR^n\mid{x}_{k+1}=\ldots=x_n=0\right\}=\ k$-Ebene in $\setR^n$\\
	Aquivalent sind:
	\begin{enumerate}
		\item $M\subset\setR^n$ $k$-dim. Umfk. der Klasse $\Comp^{\alpha}$
		\item $\forall{a}\in{M}$ $\ \exists$of\/fene Umgebung $U\subset\setR^n$ und $\Comp^{\alpha}$-invertierbare Abb.\\
		$f:U\rightarrow{V}$ auf eine of\/fene Menge $V\subset\setR^n$, s.d.
		\[
		F\left(M\cap{U}\right)=E_k\cap{V}
		\]
	\end{enumerate}
	\underline{Also}: $k$-dim. Umfk. von $\setR^n$ verhalten sich lokal wie $k$-Ebenen in $\setR^n$\\
	Hierbei heißt $F:U\rightarrow{V}$ $\ \Comp^{\alpha}$-invertierbar\\
	$:\equival$ F bijektiv und $F$ sowie $F^{-1}$ von der Klasse $\Comp^{\alpha}$\\
	\includegraphics{bild2.pdf}%Bild2
	%\vspace*{3.5 cm}
\end{beh}
\begin{bew}
	$\underline{\left(1\right)\implic\left(2\right)}$: Sei $M\subset\setR^n$ $k$-dim. Umfk. und $a\in{M}$\\
	\hspace*{0.3cm} Satz 10.1 $\implic\ {M}=$ Graph einer Abb. $g$ in Umg. von $a$, d.h.
	\begin{center}
	$
	M\cap\left(U'\times{U}''\right)=\left\{\left(x',x''\right)\in{U}'\times{U}''\mid{x''}=g\left(x'\right)\right\}
	$
	\end{center}
	\begin{sonst}[Def.]{}{}
	\[
	F:\left\{
		\begin{array}{l}
		U=U'\times{U}''\rightarrow\setR^n\\
		\left(x',x''\right)\mapsto\left(x',x''-g\left(x'\right)\right)
		\end{array}
		\right.
	\]
	\end{sonst}
	\hspace*{0.3cm} Sei $V=F\left(U\right)$, $V\subset\setR^n$ of\/fen und F ist Dif\/feomorphismus der Klasse $\calpha$ mit
	\begin{center}
	$
	F\left(M\cap{U}\right)=V\cap{E}_k
	$
	\end{center}
	\begin{sonst}[Def.]{}{}
	$U\subset\setR^n$, $V\subset\setR^n$ of\/fen\\
	$F:U\rightarrow{V}$ heißt Dif\/feomorphismus der Klasse $\calpha$, falls F bijektiv und 
	$F$ und $F^{-1}$ $\left(\alpha-1\right)$-mal stetig dif\/fbar
	\end{sonst}
	$\underline{\left(2\right)\implic\left(1\right)}$: Sei $F=\left(F_1,\ldots,F_n\right):U\rightarrow{V}$ 
	$\ \ \calpha$-invetierbar mit
	\[
	F\left(M\cap{U}\right)=E_k\cap{V}\hbox{ gegeben }
	\]
	\hspace*{0.3cm} $\implic{M}\cap{U}=\left\{x\in{U}\mid{F}_{k+1}\left(x\right)=\ldots=F_n\left(x\right)=0\right\}$ und
	\[
	Rg\partialOpFrac{\left(F_{k+1},\ldots,F_n\right)}{\left(x_1,\ldots,x_n\right)}=n-k,\hbox{ denn}
	\]
	\[
	Rg\diffOpFrac{\left(F_1,\ldots,F_n\right)}{\left(x_1,\ldots,x_n\right)}=n\implic\hbox{ Beh.}
	\]
\end{bew}
	\underline{Top. Raum} $\setR^n=$ top. Raum $M\subset\setR^n$\\
	\hspace*{0.6cm}\underline{induzierte Topologie} von $M$:
	\begin{sonst}[Def.]{}{}
	$V\subset{M}$ of\/fen $\equival$ $\exists$ of\/fene Menge $U\subset\setR^n$ mit $V=M\cap{U}$\\
	M ist top. Raum, denn
	\begin{itemize}
	\item[(i)] \underline{$\varnothing,M$ of\/fen}(da $\varnothing_{M}=M\cap\varnothing_{\setR^n}$, $M=M\cap{\setR^n}$)
	\item[(ii)] \underline{$V_1,V_2\subset{M}$ of\/fen}, d.h. $\exists{U}_1,{U}_2\subset\setR^n$ of\/fen mit 
	$V_1=U_1\cap{M}$, $V_2=U_2\cap{M}$\\
	$\implic$\underline{$V_1\cap{V}_2$}=
	$\left(U_1\cap{M}\right)\cap\left(U_2\cap{M}\right)=\left(U_1\cap{U_2}\right)\cap{M}$ \underline{of\/fen}
	\item[(iii)] \underline{$V_i\left(i\in{I}\right)$ of\/fen} in $M$, d.h. $V_i=U_i\cap{M}$, $U_i$ of\/fen im $\setR^n$\\
	$\implic\bigcup\limits_{i\in{I}}V_i=\bigcup\limits_{i\in{I}}\left(U_i\cap{M}\right)=
	\left(\bigcup\limits_{i\in{I}}U_i\right)\cap{M}$, also of\/fen in M
	\end{itemize}
	\end{sonst}
\begin{beh}[Lemma]{}{}
	Sei $K\subset{M}$ Teilmenge\\
	Äquvalent sind:
	\begin{enumerate}
	\item $K$ ist kompakt in $M$
	\item $K$ ist kompakt in $\setR^n$
	\end{enumerate}
\end{beh}
\begin{bew}
	$\underline{\left(2\right)\implic\left(1\right)}$: Sei $K=\bigcup\limits_{i\in{I}}V_{i}$ bel. 
	of\/fene Überdeckung von $K$ in $M$\\
	\underline{z.z.}: $\exists{i}_1,\ldots,i_n\in{I}:K=\bigcup\limits_{k=1}^{n}V_{i_k}$\\
	$V_i$ of\/fen in M, d.h. $\exists{U}_i$ of\/fen in $\setR^n$ mit $V_i=M\cap{U}_i$\\
	$\implic\bigcup\limits_{i\in{I}}U_i$ ist of\/fene Überdeckung von K in $\setR^n$\\
	$K$ kompakt in $\setR^n\implic\ \exists{i}_1,\ldots,i_n\in{I}$, s.d. $K\subset{U}_{i_1}\cup\cdots\cup{U}_{i_k}$\\
	$\implic$ $K\subset\left({U}_{i_1}\cup\cdots\cup{U}_{i_k}\right)\cap{M}=V_{i_1}\cup\cdots\cap{V}_{i_n}$\\
	 $ $ \\
	$\underline{\left(1\right)\implic\left(2\right)}$: Analog
\end{bew}
	Sei $T\subset\setR^k$ of\/fen
\begin{sonst}[Def.]{}{}
	$\varphi:T\rightarrow\setR^n$ stetig dif\/fbar heißt \underline{Immersion}, falls
	\[
	Rg\diffOpFrac{\varphi}{x}\left(x\right)=k\ \ \forall{x}\in{T}
	\]
\end{sonst}
\begin{minipage}{6cm}
	\begin{sonst}[Beispiel]{}{}
	$\varphi{:}\left\{
	\begin{array}{l}
	\setR\rightarrow\setR^2\\
	t\mapsto(\underbrace{t^2-1}_{\varphi_1},\underbrace{t\left(t^2-1\right)}_{\varphi_2})
	\end{array}
	\right.$
	\end{sonst}
\end{minipage}
	\hspace{2cm}
\begin{minipage}{7cm}
	\includegraphics{bild3.pdf}%Bild3
\end{minipage}\\
	\[
	\diffOpFrac{\varphi}{t}=\left(\diffOpFrac{\varphi_1}{t},\diffOpFrac{\varphi_2}{t}\right)=
	\left(2t,3t^2-1\right)\neq\left(0,0\right)\implic\ \varphi\hbox{ ist Immersion}
	\]
	$\step$Aber $\varphi$ ist nicht injektiv, denn $\varphi\left(1\right)=\left(0,0\right)=\varphi\left(-1\right)$
\begin{beh}[Satz]{}{}
	Sei $\Omega\subset\setR^n$ of\/fen und $\varphi:\Omega\rightarrow\setR^n$ eine Immersion der Klasse $\calpha$\\
	$\implic\ \forall{c}\in\Omega$ $\ \exists$ of\/fene Umgebung $T\subset\Omega$, s.d. $\varphi\left(T\right)$ 
	eine $k$-dim. Umfk. \\
	der Klasse $\calpha$ des $\setR^n$ ist und $\varphi:T\rightarrow\varphi\left(T\right)$ ist ein Homöomorphismus.
	\begin{sonst}[Def.]{}{}
	$f:V\rightarrow{W}$ \underline{Homöomorphismus} top. Räume $V$ und $W$ $:\equival$\\
	$f$ bijektiv und $f,f^{-1}$ stetig
	\end{sonst}
\end{beh}
\begin{bew}
	Sei $\varphi=\left(\varphi_1,\ldots,\varphi_n\right):\Omega\rightarrow\setR^n$\\
	Da $Rg\diffOpFrac{\varphi}{x}\left(c\right)=K$, so kann man nach ev. Umnummerierung der Koordinaten 
	des $\setR^n$ annehmen, dass $\det\partialOpFrac{\left(\varphi_1,\ldots,\varphi_k\right)}{x_1,\ldots,x_k}
	\left(c\right)\neq{0}$\\ $ $ \\
	Nach Satz über die Umkehrabb. (Analysis II, §6)\\
	$\exists$ of\/fene Umgebung $T\subset\Omega\subset\setR^k$ von $c$ und of\/fene Menge $V\subset\setR^n$, s.d.
	\[
	\left(\varphi_1,\ldots,\varphi_k\right):T\rightarrow{V}
	\]
	ein $\calpha$-Dif\/feom. ist.
\end{bew}
\begin{sonst}[Def.]{}{}
	$\phi:=\left(\phi_1,\ldots,\phi_n\right):T\times\setR^{n-k}\rightarrow{V}\times\setR^{n-k}$ wird def. durch
	\[
	\phi_i\left(t_1,\ldots,t_n\right):=\phi_i\left(t_1,\ldots,t_k\right)\hbox{ für }1\leq{i}\leq{k}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \;\;
	\]
	\[
	\phi_j\left(t_1,\ldots,t_n\right):=\phi_j\left(t_1,\ldots,t_n\right)+t_j\hbox{ für }k+1\leq{j}\leq{n}
	\]
	\end{sonst}
	$\implic\phi$ ist ein $\calpha$-Dif\/feom. ($\phi^{-1}$ ist gegeben durch 
	$\begin{array}{l}
	\varphi_i^{-1}\left(t_1,\ldots,t_n\right)\\
	t_j-\varphi_j\left(t_1,\ldots,t_n\right)
	\end{array}$ )\\
	$\step$und $\phi\left(T\times\left\{0\right\}\right)=\varphi\left(T\right)$\\
	$\step$Satz 10.2 $\implic$ $\varphi\left(T\right)$ ist $k$-dim. Umfk. der Klasse $\calpha$ und 
	$\varphi:T\rightarrow\varphi\left(T\right)$ ist Homöom.
\end{document}