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\lhead{6. Dezember 2004}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 14}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

\newcounter{Satz}
\newcounter{Lemma}
\newcounter{Proposition}
\newcounter{Beispiel} 
\newcounter{Korollar}

\setcounter{Proposition}{1}
% 1 Art der Aussage/Counter 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{aussage}[3][~]{ \bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\refstepcounter{#1} \label{#1:#3}
%{\bf \underline{#1 \arabic{#1}}} #2: \\} {\medskip \par}
{\bf \underline{#1 \arabic{#1}}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par}

% 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{sonst}[3][~]{\bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\label{#1:#3}
{\bf \underline{#1}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par}

\newcommand{\verweis}[2]{#1 \ref{#1:#2}} % 1 Art der Aussage 2 Verweisname   
\newcommand{\RR}{\mathds{R}}
\newcommand{\QQ}{\mathds{Q}}
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\newcommand{\NN}{\mathds{N}}
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\renewcommand{\int}[1]{\intop_{#1}}

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\begin{document}
%\flushleft

\begin{aussage}[Proposition]{}{}
\begin{itemize}

\item [ (1) ] $f:M\rightarrow N, g:N \rightarrow P$ k-mal stetig dif\/fbar \\
		$\Rightarrow g \circ f:M \rightarrow P$ k-mal stetig dif\/fbar 
		
\item [	(2) ] $id:M\rightarrow M$ ist $\infty$ oft dif\/fbar. 
\end{itemize}		
Bew.: klar
\end{aussage}
\begin{sonst}[Definition]{}{}
	Sei $M =$ dif\/fbare Mfkt. der Dimension $n$.\\
	Eine Teilmenge $N \subset M$ hei"st $k$-dimensionale Umfkt. von $M :\Leftrightarrow$\\
	$\forall p \in N$ gibt es eine dif\/fbare Karte 
	$h:U \rightarrow V \subset \RR^n = \RR^k \times \RR^{n-k}$, s.d.
	\[
	h(N \cap U) = V \cap \RR^k
	\]
\end{sonst}	
	\includegraphics{untermfkt.pdf}%Bild1
\begin{aussage}[Proposition]{}{}
\begin{itemize}
\item [	(i) ] $N \subset M$ dif\/fbare Umfkt. der dim $k$ $\Rightarrow N =$ dif\/fbare Mfkt. der dim $k$
\item [ (ii) ] Die kanonische Inklusion $N \stackrel{i}{\hookrightarrow} M$ ist eine dif\/fbare Abbildung.
\end{itemize}		
		
Bew.:	
\begin{itemize}
\item [ (i) ] $M$$=$hausdorf\/fsch$\Rightarrow$$N$$=$hausdorf\/fsch
	(denn $U$$\subset$$M$ of\/fen$\Rightarrow$$U$$\cap$$N$ of\/fen in $N$)\\
	Aus den Karten von $M$ erh"alt man Karten von $N$:\\
	$h:U \rightarrow V$ wie in Def. $\Rightarrow h \mid U \cap N: U \cap N \rightarrow V \cap \RR^k$\\
	Ist $(U_\alpha) =$ of\/fene Überdeckung von $M$ ,\\
	so $\Rightarrow$ $\left(U_{\alpha}\cap{N}\right)=$ 
	of\/fene Überdeckung von $N$ $\rightarrow$ dif\/fb. Atlas von N $\Rightarrow (i)$
\item [	(ii) ] Sei $h:U \rightarrow V \subset \RR^n$ Karte, s.d. $h: U \cap N \rightarrow V \cap \RR^k \subset
	\RR^k$ Karte von $N$\\ $ $ \\
	\includegraphics{schema.pdf}\\
	$(x_1,\ldots,x_k)\longmapsto(x_1,\ldots,x_k,0,\ldots,0)$ also dif\/fbar.
\end{itemize}
\end{aussage}
\begin{sonst}[Beispiele]{f"ur dif\/fbare Mfkt.}{}
	$\RR^n =$ dif\/fbare Mfkt.\\
	Die Umfkt. von $\mathsection 10$ sind alle dif\/fbare Mfkt.
\end{sonst}
	$ $\\
	Seien $M, N$ dif\/fbare Mfkt. der dim $m$ und $n$ und $M \times N := \{(m, n) \mid m \in M, n \in N\}$, 
	dann wird das zu einem topologischen Raum mittels
	\begin{center}
	$\hbox{of\/fene Mengen von }M \times N = \hbox{alle endl. Durchschnitte von bel. Vereinigungen von Mengen der Form:}$\\
	$U \times V \hbox{mit } U \subset M \hbox{ of\/fen, } V \subset N \hbox{ of\/fen }
	(\Rightarrow \hbox{ ist topologischer Raum})$
	\end{center}
	$M \times N$ hei"st topologisches Produkt von $M$ und $N$.\\
	$M, N$ hausdorfsch $\Rightarrow M, N$ h.d. \\
	
Bew.: \\
	$(m_1, n_1) \neq (m_2, n_2)$ in $M \times N \, \OE \, m_1 \neq m_2$. Da $M$ h.d.\\
	$\Rightarrow \exists U_1(m_1) \cap U_2(m_2) = \emptyset$\\
	Sei $V_1(n_1), V_2(n_2)$\\
	$\Rightarrow (U_1(m_1) \times V_1(n_1)) \cap ((U_2(m_2) \times V_2(n_2)) = \emptyset \Rightarrow$ Beh.
%
Seien $h:U \rightarrow V \subset \RR^m$ und $h':U' \rightarrow V' \subset \RR^n$ dif\/fb. Karten von $M$ und $N$
$$ \Rightarrow h \times h': U \times U' \rightarrow V \times V' \subset \RR^m \times \RR^n = \RR^{m+n} $$
ist eine Karte von $M \times N$. \\
Auf diese Weise erh"alt man einen Atlas von $M \times N$
Kartenwechsel sind von der Form 
$$
\begin{array}{c c c c c}
(k \times k') \circ (h \times h'): & h(U) \times h'(U') & \rightarrow & k(U) \times k'(U') & \\
         				& \cap &	   		& \cap & \\
          				& \RR^{m+n} &  		& \RR^{m+n} &
\end{array}
$$
Da dieser Kartenwechsel genau dann dif\/fbar wenn die Komponenten dif\/fbar sind \\
$ \Rightarrow$ der Atlas ist dif\/fbarer Atlas $\Rightarrow M \times N$ ist dif\/fb. Mfkt. und hei"st das Produkt von $M$ und $N$

\begin{aussage}[Beispiel]{}{}
$S^1 := \{ (x_1, x_2) \in \RR^2 \mid x_1^2 + x_2^2 = 1 \}$ (1-Sph"are) \\
$\Rightarrow S^1 \times S^1$ ist dif\/fbare Mfkt. \\
\begin{minipage}{6.5cm}
$(S^1)^n$ n-dim. Torus
\end{minipage}
\hspace*{2 cm}
\begin{minipage}{6.5cm}
\includegraphics{torus.pdf}\\
\end{minipage}
\end{aussage}
\begin{aussage}[Beispiel]{ (Der Projektive Raum $\RR\PP_n$) }{}
$S_n := \{(x_0, \cdots x_n) \in \RR^{n+1} \mid \sum_{i=0}^n x_i^2 \} =$ n-Sph"are \\
$$ \RR\PP_n := S_n \bigg / x \sim \pm = \RR^{n+1} \setminus {0} \bigg / x \sim \lambda x \quad \hbox{f"ur } \lambda \neq 0$$
Es ist also: $ [x_0, \cdots ,x_n] = [ \lambda x_0, \cdots, \lambda x_n ] \hbox{ mit } \lambda \neq 0$ falls $( x_0, \cdots , x_n ) \neq (0, \cdots ,0)$ \\
 Bezeichnung: $(x_0 : \cdots : x_n) =$ Klasse von $( x_0 , \cdots , x_n )$ - \underline{homogene Koordinaten}\\
\[
(x_0 : \cdots : x_n ) = ( \lambda x_0 , \cdots , \lambda x_n ) \hbox{ mit } \lambda \neq 0
\]
Versehe $\RR\PP_n$ mit der Quotiententopologie:\\
Ist $\Pi : \RR^{n+1} \setminus \{0\} \rightarrow \RR\PP_n$ die Projektion,
so sind genau die Mengen von $\RR\PP_n$ of\/fen, deren Urbilder in $\RR^{n+1} \setminus \{0\}$ of\/fen sind. \\
Insbesondere sind die Mengen $U_i := \{(x_0 : \cdots : x_n) \in \RR\PP_n \mid x_i \neq 0 \} $ of\/fen. Die Abbildung
$$
h_i: \left \{ \begin{array}{l l l} 
	U_i & \stackrel{\sim}{\rightarrow} & \RR^n \\
	(x_0 : \cdots : x_n ) & \mapsto & (x_0/x_i x_1/x_i, \cdots x_i/x_i , \cdots , x_n/x_i ) 
	\end{array}
      \right .
$$
ist bijektiv, also eine Karte. \\
Es ist $\mathcal{A} := \{ h_i : U_i \rightarrow \RR^n \}_{i=0, \cdots , n}$ ein Atlas denn $\bigcup_{i=0}^nU_i = \RR\PP_n$. \\
Beh.: $\mathcal{A}$ ist dif\/fbarer Atlas d.h. Kartenwechsel sind dif\/fbar. \\
Bew.: \\ z.zg.: $h_j \circ h_i^{-1}: h_i(U_i \cap U_j) \rightarrow h_j(U_i \cap U_j)$ ist dif\/fbar $\forall i \neq j$ \\
Sei $(x_0 : \cdots : x_n) \in U_i \cap U_j \hbox{ d.h. } x_i \neq 0 \neq x_j$ \\
$ h_i(x_0 : \cdots : x_n ) = ( x_0/x_i, \cdots, \check{x_i/x_i}, \cdots , x_n/x_i ) = (y_o, \cdots , y_{i-1},1,y_{i+1}, \cdots , y_n)$
\\ $\downarrow$ dif\/fbar. \\
$h_j(x_0 : \cdots : x_n ) = x_0 / x_i , \cdots , x_i / x_j, \cdots , \check{x_i/x_i} , \cdots , x_n/x_i )
= (y_0 / y_i , \cdots y_{i-1}/y_j , 1/y_j , \cdots , y_j / y_j , \cdots , y_n / y_j ) $
\end{aussage}
\section*{$\mathsection$ 12 Der Tangentialraum $T_pM $}
\begin{minipage}{8cm}$ T_p\RR^n = \RR^n$ \\
Die Tangentialvektoren in $T_p\RR^n$ k"onnen interpretiert werden als Ableitungen von dif\/fbaren Kurven durch $p$:
\end{minipage}
\hspace*{2 cm}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics{achsen.pdf}
\end{minipage}
$$
	\alpha : \left \{
		\begin{array}{c c c} 
 		(-\varepsilon, \varepsilon) & \rightarrow & \RR^n   \\
		t & \mapsto & p + tv 
	 	\end{array}	
		\right . \quad \hbox{ hat die Ableitung } \alpha ' (0) = v
$$
Diese Def. l"a"st sich verallgemeinern auf beliebige dif\/fbare Mfkt. \\
Sei $M =$ dif\/fbare Mfkt. und $p \in M$.
\begin{sonst}[Definition]{}{}
2 dif\/fb. Kurven $\alpha_1:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M$ mit $\alpha_1(0) = p$ und \\ 
  $\alpha_2:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M$ mit $\alpha_2 (0) = p$ \\ hei"sen
"aquivalent, falls f"ur eine Karte $h:U \rightarrow V \subset \RR^n$ um $p$ gilt 
$(h \circ \alpha_1)'(0) = (h \circ \alpha_2)'(0)$\\
\includegraphics{equivalent.pdf}
\end{sonst}
\begin{aussage}[Lemma]{}{}
Diese Def. h"angt nicht ab von der Wahl der Karte. \\
Bew.: \\
Ist $g: V \rightarrow V' \subset \RR^n$ ein Kartenwechsel, so ist
\begin{eqnarray*} (gh\alpha_i)'(0) & = & D(gh\alpha_i) = 0 = Dg(h\alpha_i(0)) \circ D(h\alpha_i)(0) \\ 
& = & Dg(h\alpha_i(0))(h\alpha_i)'(0)
\end{eqnarray*}
Aber: $Dg(h(p))$ ist bijektiv 
$$ \Rightarrow (gh\alpha_1)'(0) = (gh\alpha_2)'(0) \Leftrightarrow (h\alpha_1)'(0) = (h\alpha_2)'(0) $$
\end{aussage}
Dadurch ist eine "Aquivalenzrelation definiert.
\begin{sonst}[Definition]{}{}
Ein Tangentenvektor von $M$ in $p$ ist eine "Aquivalenzrelation [$\alpha$] von dif\/fbaren Kurven 
$\alpha: (-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow M$ mit $\alpha(0) = p$ \\
Bez.: $\stackrel{\cdot}{\alpha}(0)$
\end{sonst}
 $T_pM := \{$ Tangentenvektoren von $M$ in $p \} = $ Tangentialraum von $M$ in $p$\\
 \hspace*{0.6cm}Sei $f: M \rightarrow N$ eine dif\/fbare Abb von Mfkt mit $f(p) = q$
\begin{sonst}[Definition]{}{}
Die Abb. 
$$
T_pf: \left \{ \begin{array}{c c c c c} & T_pM & \rightarrow & T_qN & \\ & [\alpha ] & \mapsto & [f \circ \alpha ]  &
			\end{array}	\right .
$$
hei"st die Tangentialabbildung oder das Dif\/fential von $f$ in $p$.
\end{sonst}
\begin{aussage}[Lemma]{}{}
$T_pf$ ist wohldefiniert, d.h. unabh"angig von der Wahl der dif\/fb. Kurve. \\
Bew.: \\
Sei $h : U \rightarrow V \subset \RR^n$ Karte in $p$ mit $h(p) =: r \in \RR^n$ \\
Jede Kurve $\alpha$ durch $p$ ist in $p$ von der Form 
$$ \alpha = h^{-1}\beta \hbox{ mit } \beta: (-\varepsilon , \varepsilon) \rightarrow V \subset \RR^n \quad
\beta(0) = r
$$
Sei $[h^{-1} \beta_1 ] = [ h^{-1} \beta_2 ]$ d.h. $\beta_1'(0) = \beta_2'(0)$ \\
z.zg.: $[fh^{-1}\beta_1 ] = [fh^{-1} \beta_2 ]$ \\
Sei $k: U' \rightarrow V' \subset \RR^m$ Karte von $M$ um $q = f(p)$ 
$$
(kfh^{-1} \beta_1 )'(0) = D(kfh^{-1})(r) \beta_1'(0) = D(kfh^{-1})(r) \beta_2'(0) = (kfh^{-1}\beta_2)'(0) $$ 
$$ \Rightarrow [fh^{-1}\beta_1] = [fh^{-1} \beta_2 ]
$$
\end{aussage}
\end{document}