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\lhead{8. Dezember 2004}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 15}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

\newcounter{Satz}
\newcounter{Lemma}
\newcounter{Proposition}
\newcounter{Beispiel}
\newcounter{Korollar}

\setcounter{Proposition}{1}
\setcounter{Lemma}{2}
% 1 Art der Aussage/Counter 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{aussage}[3][~]{ \bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\refstepcounter{#1} \label{#1:#3}
%{\bf \underline{#1 \arabic{#1}}} #2: \\} {\medskip \par}
{\bf \underline{#1 \arabic{#1}}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par}

% 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{sonst}[3][~]{\bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\label{#1:#3}
{\bf \underline{#1}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par}

\newcommand{\verweis}[2]{#1 \ref{#1:#2}} % 1 Art der Aussage 2 Verweisname   
\newcommand{\RR}{\mathds{R}}
\newcommand{\QQ}{\mathds{Q}}
\newcommand{\ZZ}{\mathds{Z}}
\newcommand{\NN}{\mathds{N}}
\newcommand{\PP}{\mathds{P}}
\renewcommand{\int}[1]{\intop_{#1}}
\newcommand{\SR}[2]{\stackrel{#2}{#1}}

\begin{document}

\flushleft
$M =$ dif\/fbare Mfkt $p \in M$ 
$$ \alpha_i : ( - \varepsilon, \varepsilon ) \rightarrow M \hbox{ mit } \alpha_i(0) = p 
\Leftrightarrow \exists \hbox{ Karte }h: U \rightarrow V \subset \RR^n \hbox{ um } p, 
\hbox{ s.d. } (h \circ \alpha_1)'(0) = (h \circ \alpha_2 )'(0) $$
$T_pM := \{ $ "Aquivalenzklassen $[ \alpha ] \}$
$f: M \rightarrow N \; f(p)=q$
$$ T_pf : \left \{ \begin{array}{c c c c c} 
		&	T_pM & \longrightarrow & T_{f(p)}M & \\ 
		&	[ \alpha ] & \mapsto & [ f \circ \alpha ] &
		   \end{array} \right . $$
\begin{aussage}[Lemma]{}{}
\begin{itemize}
\item [ (i) ] $T_p(id_M) = id_{T_pM}: T_pM \rightarrow T_pM$

\item [ (ii) ] Ist $g:N \rightarrow P$ dif\/fbare Abb. von Mfk mit $g(q) = r$ \\
$\Rightarrow T_{p} (g \circ f) = T_{q}(g) \cdot T_{p}(f) : T_{p}M \rightarrow T_{r}P$
\end{itemize}

Bew: 

\begin{itemize}
\item [ (i) ] $T_{p}(id_{M})[\alpha] = [id_{M} \circ \alpha] = [\alpha] $

\item[ (ii) ] $T_{p}(g \circ f)[\alpha]= [(g \circ f) \circ \alpha] =[g \circ (f
	\circ \alpha)] = T_{q}(g)[f \circ \alpha] = T_{q}(g) \circ
	T_{p}(f)[\alpha]$

\end{itemize}
\end{aussage}
Sei $h: U \rightarrow V \subset \RR^n$ Karte um $p \in U \subset M$ mit $h(p) = 0 $ \\
Fassen $V$ auf als Mfkt, so haben wir 2. Definition des Tangentialraumes:
\begin{itemize}
\item [ (1) ] $T_0V = \RR^n$
\item [ (2) ] $T_0V = \{[ \alpha ] \mid \alpha :(- \varepsilon , \varepsilon ) \rightarrow V, \alpha  (0) = 0 \}$
\end{itemize}
Die beiden Definitionen stimmen "uberein, denn
$$v \in \RR^n \leadsto \hbox{ Kurve }
\alpha : \left \{ 
		\begin{array}{c c c c c}
			( - \varepsilon , \varepsilon ) & \longrightarrow & V & \\ 
			t & \longmapsto & q +tv & 
		\end{array} \right .$$
$$ \Rightarrow [ \alpha ] = v $$
Da $h$ ein Dif\/feomorphismus, d.h. $h \circ h^{-1} = id,\ h^{-1} \circ h = id$ und $h, h^{-1}$ dif\/fbar
$$\Rightarrow T_p(h) \circ T_0(h^{-1}) \SR{=}{L3(2)} T_0(h \circ h^{-1}) = T_0(id_V) \SR{=}{L3(1)} id_{T_0V}$$
$$\ \ \ \ T_0(h^{-1}) \circ T_p(h) \ = \qquad \cdots \qquad \quad \qquad \cdots \qquad = \ id_{T_pM}$$
$\Rightarrow T_p(h)$ ist bijektive Abb.\\ $ $ \\
Definiere $\RR$-VR Struktur auf $T_pM$, s.d.
$$T_p(h) : T_pM \rightarrow T_0V = \RR^n$$
ein $\RR$-VR ist.\\
Diese $\RR$-VR Struktur h"angt nicht ab von der Wahl der Karte $h$,\\
denn f"ur einen Kartenwechsel $g:V \rightarrow V',\ g(0) = 0$ ist
$$ \begin{array}{c c c c c c} & T_0V & \longrightarrow & T_0V'   & &\\
			    & | \, | &		   & | \, |  & &\\
& \RR^n & \SR{ \longrightarrow }{ Dg(p) } & \RR^n & \hbox{ ein } \RR \hbox{-VR-Isomorphismus}&
\end{array}
$$
Also: $M = n$-dim. dif\/fbare Mfkt $\Rightarrow \ \forall p \in M$ ist $T_pM$ ein $\RR$-VR der Dimension $n$\\
 $ $ \\
Sei $f: M^m \rightarrow N^n$ dif\/fbare Abb. mit $f(p) = q$\\
Sei
$$
\begin{array}{r c l c}
M & \SR{ \longrightarrow}{ f } & N & \\
\bigcup & 			   & \bigcup & \\
U & \SR{ \longrightarrow } { f } & U' & (\ast)\\
h \downarrow \:& & \:\downarrow h' &\\
\RR^m \supset V & \SR{ \longrightarrow } { h'fh^{-1} } & V' \subset \RR^n &
\end{array}
$$

\begin{aussage}[Lemma]{}{} 
$( \ast )$ induziert:
$$
\begin{array}{c c c c c}
& T_pM & \SR{\longrightarrow}{T_pf} & T_qN & \\
& \simeq \downarrow		& &	\downarrow \simeq & \\
& \RR^m=T_{h(p)}V & \stackrel{ D(h'fh^{-1}) \big |_{h(p)} }{ \longrightarrow } & T_{h'(q)}V' = \RR^n & 
\end{array}
\quad \hbox{ kommutatives Diagramm! }
$$
d.h. in lokalen Karten ist $T_pf$ gegeben durch die Jacobi-Abbildung\\ $ $ \\
Bew.: \\
z.z.:	Die Abb. $\curvearrowright$ bildet $v$ ab auf $D(h'fh^{-1}) \big|_{h(p)} (v)$

$$
\begin{array}{rcl}
\left[h^{-1}\left(r+tv\right)\right]&\longrightarrow&\left[f\circ h^{-1}\left(r+tv\right)\right]\\
\uparrow \quad && \quad \downarrow\\
\diffOpFrac{}{t}\big|_{h(p)}\left(r+tv\right)=v=\left[r+tv\right]&&\left[h'f\circ h^{-1}\left(r+tv\right)\right]\\
&&\quad\quad\quad\mid\mid\\
&&\diffOpFrac{}{t}\big|_{h(p)}\big(\left(h'fh^{-1}\right)\left(r+tv\right)\big)=\\
&&=D(h'fh^{-1}) \big |_{h(p)}\left(v\right)\\
&&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qedsymbol
\end{array}
$$
 $ $ \\
Insbesondere: $T_pf$ ist ein $\RR$-VR-Homomorphismus, d.h. $\RR$-linear\\
\end{aussage}
\begin{sonst}[Bemerkung]{}{} 
Sei $\alpha : \RR \rightarrow M$ mit $\alpha (0) = p$ dif\/fbare Kurve $\leadsto T_0( \alpha ) \rightarrow T_pM$
\\ $T_0\RR = \RR$ Die $1 \in \RR$ ist Basis von $T_0\RR = \RR$ \\
\end{sonst}
Sei $v = [ \alpha ] \in T_pM \Rightarrow v = T_0 \alpha (1)$
\\ Bew.: \\
Die Kurve 
$$
id_\RR \left \{ \begin{array}{c c c c c}
& \RR & \longrightarrow & \RR & \\ & t & \mapsto & t & 
\end{array} \right .
$$
repr"asentiert den Tangentenvektor 
$1 \in T_p\RR \Rightarrow v = [ \alpha ] \stackrel{\alpha \circ id = \alpha}{=} T_0 \alpha [id_\RR] = T_0 \alpha(1) $
\begin{sonst}[Definition]{}{}
Sei $\varphi : M \rightarrow \RR$ dif\/fbare Funktion \\
$$v \in T_pM \leadsto T_p\varphi : T_pM \rightarrow T_{\varphi(p)}\RR = \RR $$
$v(\varphi) := (T_p\varphi)(v) \in T_{\varphi(p)}\RR = \RR$ hei"st Richtungsableitung von $\varphi$ in Richtung $v$
\end{sonst}
Ist $\alpha : \RR \rightarrow M$ eine Kurve die $v$ repr"asentiert, so ist $\alpha$ auch eine Abb. von dif\/fbaren Mfkt.
\begin{eqnarray*}
\Rightarrow v(\varphi) & = & (T_p\varphi)(v) \SR{=}{Bem.} T_p\varphi(T_0 \alpha(1) ) \\ 
& = & ( T_p \alpha \circ T_0 \alpha )(1) \SR{=}{L3} T_0(\varphi \circ \alpha)(1) \\ 
& = & \frac{d}{dt} \big|_0 ( \varphi \circ \alpha ) (1)
\end{eqnarray*}
In lokalen Koordinaten beschreibt sich die Richtungsableitung wie folgt: \\
Sei $U \subset M$ eine Kartenumgebung um $p \in M$ \\
Identifizieren $U \subset M$ mit of\/fenem Teil von $\RR^n$ \\
$\Rightarrow \varphi|U : U \rightarrow \RR $ ist dif\/fbare Fkt. in $U \subset \RR^n$ \\
Ist $v = \left ( \begin{array}{l l l} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{array} \right ) \in T_pU = \RR^n$, so ist nach Kettenregel: 
$$ v(\varphi) = \frac{d}{dt} \big|_0 \varphi \circ ( p + tv ) \SR{=}{KR} \sum_{i=1}^n v_i \frac{d}{\partial x_i} \varphi(p)$$
Also: Alte = Neue Def. von Richtungsableitung. \\
Insbesondere entsprechen die kanonischen Basisvektoren von $\RR^n = T_p\RR^n$ den Richtungsableitungen $\frac{\partial}{\partial x_i} \big|p$ \\
Deshalb bezeichnen wir den Tangentialvektor, der durch die Kurve
$$
\left \{ \begin{array}{c c c c c} 
		& ( - \varepsilon, \varepsilon ) & \rightarrow & \RR^n & \\ 
		& t & \mapsto & p+te_i & 
\end{array} \right .
$$
repr"asentiert wird mit $$ \frac{\partial}{\partial x_i} = \frac{ \partial }{ \partial x_i} \big |_p \in T_pU = T_pM $$
$\Rightarrow$ Die $\frac{d}{dx_i }$ bilden Basis von $T_pM$. \\
Achtung: Diese Basis ist nur bzgl. einer festen Karte definiert! \\

In lokalen Koordinaten ist: Tangentialabb. $=$ Dif\/ferential der Abb ($=$ Jacobi-Abb.)
\begin{sonst}[Definition]{}{}
Sei $f: M^m \rightarrow N^n$ dif\/fbare Abb. $p \in M$
$rg_pf := rgT_pf$ hei"st Rang von $f$ in $p$. \\
$f$ hei"st \underline{Immersion}, falls $Rg_pf = dimM = m$ \\
$f$ hei"st \underline{Submersion}, falls $Rg_pf = dimN = n \ \ \forall p \in M$
\end{sonst}
\begin{aussage}[Lemma]{}{}
Sei $f: M \rightarrow N$ stetig dif\/fbar und $Rg_pf = k$ \\
$ \Rightarrow \exists $ Umgebung $ U = U(p)$ s.d.  $rg_qf \geq k \ \forall q \in U$ \\
Bew.: \\
Da der Rang lokal definiert ist, k"onnen wir \OE $\,$ annehemen \\
$$ f: \RR^m \supset U \rightarrow V \subset \RR^n \quad p=0 \in U $$
$$ \Rightarrow T_0f = Df(0) = \left ( \frac{ \partial f_i }{ \partial x_j } \right ) 
_{\begin{array}{l l} i=1, \cdots, n \\ j=1, \cdots, m \end{array} } $$
\OE $\,$ (durch Vertauschen der Koordinaten) k"onnen wir annehmen:
$$ det \left ( \frac{ \partial f_i }{ \partial \partial x_j } \right ) _{i,j=1 \cdots n }^k \neq 0 $$
Da $\frac{ \partial f_i }{ \partial x_j }$ stetig \\
$$ \Rightarrow det \left ( \frac{ \partial f_i }{ \partial x_j }(x) \right )_{i,j=1, \cdots, n }^k \neq 0 
\quad \ \forall x \in U(0) $$ 
$$ \Rightarrow Rg \left ( \frac{ \partial f_i }{ \partial x_j }(x) \right ) \geq k $$
\end{aussage}
Der Rang kann also in einer Umgebung nicht fallen, aber er kann steigen: 
\begin{aussage}[Beispiel]{}{}
$$
f : \left \{ \begin{array}{c c c c c}
& \RR & \rightarrow & \RR & \\
& x & \mapsto & x^2 & 
\end{array} \right .
$$
$$ \Rightarrow T_pf = 2 \varphi = \left \{ \begin{array}{c c c c c}
		& 0 & \hbox{ falls } & p=0 & \\
		& \neq 0 & \hbox{ falls } & p \neq 0 & 
	\end{array} \right .
$$
\end{aussage}
Lokale Eigenschaften einer dif\/fbaren Abb. $f:M \rightarrow N$ kann man immer bzgl. Karten beschreiben. \\
Genauer:
$$
\begin{array}{c c c c c}
& M  & \SR{ \longrightarrow}{f} & N & \\
& \bigcup &			&  \bigcup & \\
& p \in U &			&  U'& \\
&h \downarrow\ \ 	& &	\downarrow h' & \\
& V & \longrightarrow	&	V' & \\
& \bigcap &		      &	\bigcap & \\
& \RR^m &		      &	\RR^n & 
\end{array}
$$
Identifiziert man $U$ mit $V$ und $U'$ mit $V'$ so ist $f|U: \RR^m \supset U \rightarrow U' \subset \RR^n$
\\
In lokalen Koordinaten ist $f$ gegeben durch $f: \RR^m \supset U \rightarrow U' \subset \RR^n$
\\
\begin{aussage}[Satz]{(Rangsatz) }{}
Sei $f: M^m \rightarrow N^n$ stetig dif\/fbare Abb. von konstantem $Rg(k)$ lokal um $p \in M $ \\
$\Rightarrow$ bzgl. geeigneten lokalen Koordinaten um $p$ ist $f$ gegeben durch 
$$
\left \{ \begin{array}{c c c c c} 
	& \RR^m \supset U & \longrightarrow & V \subset \RR^n & \\ 
	& (x_1 , \cdots, x_n ) & \mapsto & ( x_1, \cdots, x_k, 0, \cdots, 0 ) & \end{array} \right .
$$
\end{aussage}
\end{document}
