\documentclass[12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{lange} \usepackage{latexsym} \usepackage{ngerman} \usepackage{bbm} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,amsmath,amsthm} \usepackage{dsfont} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{a4wide} \pagestyle{fancy} \lhead{8. Dezember 2004} \chead{} \rhead{\bfseries Vorlesung 15} \renewcommand{\baselinestretch}{1.3} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \newcounter{Satz} \newcounter{Lemma} \newcounter{Proposition} \newcounter{Beispiel} \newcounter{Korollar} \setcounter{Proposition}{1} \setcounter{Lemma}{2} % 1 Art der Aussage/Counter 2 Name 3 Verweisname \newenvironment{aussage}[3][~]{ \bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt \refstepcounter{#1} \label{#1:#3} %{\bf \underline{#1 \arabic{#1}}} #2: \\} {\medskip \par} {\bf \underline{#1 \arabic{#1}}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par} % 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname \newenvironment{sonst}[3][~]{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt \label{#1:#3} {\bf \underline{#1}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par} \newcommand{\verweis}[2]{#1 \ref{#1:#2}} % 1 Art der Aussage 2 Verweisname \newcommand{\RR}{\mathds{R}} \newcommand{\QQ}{\mathds{Q}} \newcommand{\ZZ}{\mathds{Z}} \newcommand{\NN}{\mathds{N}} \newcommand{\PP}{\mathds{P}} \renewcommand{\int}[1]{\intop_{#1}} \newcommand{\SR}[2]{\stackrel{#2}{#1}} \begin{document} \flushleft $M =$ dif\/fbare Mfkt $p \in M$ $$ \alpha_i : ( - \varepsilon, \varepsilon ) \rightarrow M \hbox{ mit } \alpha_i(0) = p \Leftrightarrow \exists \hbox{ Karte }h: U \rightarrow V \subset \RR^n \hbox{ um } p, \hbox{ s.d. } (h \circ \alpha_1)'(0) = (h \circ \alpha_2 )'(0) $$ $T_pM := \{ $ "Aquivalenzklassen $[ \alpha ] \}$ $f: M \rightarrow N \; f(p)=q$ $$ T_pf : \left \{ \begin{array}{c c c c c} & T_pM & \longrightarrow & T_{f(p)}M & \\ & [ \alpha ] & \mapsto & [ f \circ \alpha ] & \end{array} \right . $$ \begin{aussage}[Lemma]{}{} \begin{itemize} \item [ (i) ] $T_p(id_M) = id_{T_pM}: T_pM \rightarrow T_pM$ \item [ (ii) ] Ist $g:N \rightarrow P$ dif\/fbare Abb. von Mfk mit $g(q) = r$ \\ $\Rightarrow T_{p} (g \circ f) = T_{q}(g) \cdot T_{p}(f) : T_{p}M \rightarrow T_{r}P$ \end{itemize} Bew: \begin{itemize} \item [ (i) ] $T_{p}(id_{M})[\alpha] = [id_{M} \circ \alpha] = [\alpha] $ \item[ (ii) ] $T_{p}(g \circ f)[\alpha]= [(g \circ f) \circ \alpha] =[g \circ (f \circ \alpha)] = T_{q}(g)[f \circ \alpha] = T_{q}(g) \circ T_{p}(f)[\alpha]$ \end{itemize} \end{aussage} Sei $h: U \rightarrow V \subset \RR^n$ Karte um $p \in U \subset M$ mit $h(p) = 0 $ \\ Fassen $V$ auf als Mfkt, so haben wir 2. Definition des Tangentialraumes: \begin{itemize} \item [ (1) ] $T_0V = \RR^n$ \item [ (2) ] $T_0V = \{[ \alpha ] \mid \alpha :(- \varepsilon , \varepsilon ) \rightarrow V, \alpha (0) = 0 \}$ \end{itemize} Die beiden Definitionen stimmen "uberein, denn $$v \in \RR^n \leadsto \hbox{ Kurve } \alpha : \left \{ \begin{array}{c c c c c} ( - \varepsilon , \varepsilon ) & \longrightarrow & V & \\ t & \longmapsto & q +tv & \end{array} \right .$$ $$ \Rightarrow [ \alpha ] = v $$ Da $h$ ein Dif\/feomorphismus, d.h. $h \circ h^{-1} = id,\ h^{-1} \circ h = id$ und $h, h^{-1}$ dif\/fbar $$\Rightarrow T_p(h) \circ T_0(h^{-1}) \SR{=}{L3(2)} T_0(h \circ h^{-1}) = T_0(id_V) \SR{=}{L3(1)} id_{T_0V}$$ $$\ \ \ \ T_0(h^{-1}) \circ T_p(h) \ = \qquad \cdots \qquad \quad \qquad \cdots \qquad = \ id_{T_pM}$$ $\Rightarrow T_p(h)$ ist bijektive Abb.\\ $ $ \\ Definiere $\RR$-VR Struktur auf $T_pM$, s.d. $$T_p(h) : T_pM \rightarrow T_0V = \RR^n$$ ein $\RR$-VR ist.\\ Diese $\RR$-VR Struktur h"angt nicht ab von der Wahl der Karte $h$,\\ denn f"ur einen Kartenwechsel $g:V \rightarrow V',\ g(0) = 0$ ist $$ \begin{array}{c c c c c c} & T_0V & \longrightarrow & T_0V' & &\\ & | \, | & & | \, | & &\\ & \RR^n & \SR{ \longrightarrow }{ Dg(p) } & \RR^n & \hbox{ ein } \RR \hbox{-VR-Isomorphismus}& \end{array} $$ Also: $M = n$-dim. dif\/fbare Mfkt $\Rightarrow \ \forall p \in M$ ist $T_pM$ ein $\RR$-VR der Dimension $n$\\ $ $ \\ Sei $f: M^m \rightarrow N^n$ dif\/fbare Abb. mit $f(p) = q$\\ Sei $$ \begin{array}{r c l c} M & \SR{ \longrightarrow}{ f } & N & \\ \bigcup & & \bigcup & \\ U & \SR{ \longrightarrow } { f } & U' & (\ast)\\ h \downarrow \:& & \:\downarrow h' &\\ \RR^m \supset V & \SR{ \longrightarrow } { h'fh^{-1} } & V' \subset \RR^n & \end{array} $$ \begin{aussage}[Lemma]{}{} $( \ast )$ induziert: $$ \begin{array}{c c c c c} & T_pM & \SR{\longrightarrow}{T_pf} & T_qN & \\ & \simeq \downarrow & & \downarrow \simeq & \\ & \RR^m=T_{h(p)}V & \stackrel{ D(h'fh^{-1}) \big |_{h(p)} }{ \longrightarrow } & T_{h'(q)}V' = \RR^n & \end{array} \quad \hbox{ kommutatives Diagramm! } $$ d.h. in lokalen Karten ist $T_pf$ gegeben durch die Jacobi-Abbildung\\ $ $ \\ Bew.: \\ z.z.: Die Abb. $\curvearrowright$ bildet $v$ ab auf $D(h'fh^{-1}) \big|_{h(p)} (v)$ $$ \begin{array}{rcl} \left[h^{-1}\left(r+tv\right)\right]&\longrightarrow&\left[f\circ h^{-1}\left(r+tv\right)\right]\\ \uparrow \quad && \quad \downarrow\\ \diffOpFrac{}{t}\big|_{h(p)}\left(r+tv\right)=v=\left[r+tv\right]&&\left[h'f\circ h^{-1}\left(r+tv\right)\right]\\ &&\quad\quad\quad\mid\mid\\ &&\diffOpFrac{}{t}\big|_{h(p)}\big(\left(h'fh^{-1}\right)\left(r+tv\right)\big)=\\ &&=D(h'fh^{-1}) \big |_{h(p)}\left(v\right)\\ &&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qedsymbol \end{array} $$ $ $ \\ Insbesondere: $T_pf$ ist ein $\RR$-VR-Homomorphismus, d.h. $\RR$-linear\\ \end{aussage} \begin{sonst}[Bemerkung]{}{} Sei $\alpha : \RR \rightarrow M$ mit $\alpha (0) = p$ dif\/fbare Kurve $\leadsto T_0( \alpha ) \rightarrow T_pM$ \\ $T_0\RR = \RR$ Die $1 \in \RR$ ist Basis von $T_0\RR = \RR$ \\ \end{sonst} Sei $v = [ \alpha ] \in T_pM \Rightarrow v = T_0 \alpha (1)$ \\ Bew.: \\ Die Kurve $$ id_\RR \left \{ \begin{array}{c c c c c} & \RR & \longrightarrow & \RR & \\ & t & \mapsto & t & \end{array} \right . $$ repr"asentiert den Tangentenvektor $1 \in T_p\RR \Rightarrow v = [ \alpha ] \stackrel{\alpha \circ id = \alpha}{=} T_0 \alpha [id_\RR] = T_0 \alpha(1) $ \begin{sonst}[Definition]{}{} Sei $\varphi : M \rightarrow \RR$ dif\/fbare Funktion \\ $$v \in T_pM \leadsto T_p\varphi : T_pM \rightarrow T_{\varphi(p)}\RR = \RR $$ $v(\varphi) := (T_p\varphi)(v) \in T_{\varphi(p)}\RR = \RR$ hei"st Richtungsableitung von $\varphi$ in Richtung $v$ \end{sonst} Ist $\alpha : \RR \rightarrow M$ eine Kurve die $v$ repr"asentiert, so ist $\alpha$ auch eine Abb. von dif\/fbaren Mfkt. \begin{eqnarray*} \Rightarrow v(\varphi) & = & (T_p\varphi)(v) \SR{=}{Bem.} T_p\varphi(T_0 \alpha(1) ) \\ & = & ( T_p \alpha \circ T_0 \alpha )(1) \SR{=}{L3} T_0(\varphi \circ \alpha)(1) \\ & = & \frac{d}{dt} \big|_0 ( \varphi \circ \alpha ) (1) \end{eqnarray*} In lokalen Koordinaten beschreibt sich die Richtungsableitung wie folgt: \\ Sei $U \subset M$ eine Kartenumgebung um $p \in M$ \\ Identifizieren $U \subset M$ mit of\/fenem Teil von $\RR^n$ \\ $\Rightarrow \varphi|U : U \rightarrow \RR $ ist dif\/fbare Fkt. in $U \subset \RR^n$ \\ Ist $v = \left ( \begin{array}{l l l} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{array} \right ) \in T_pU = \RR^n$, so ist nach Kettenregel: $$ v(\varphi) = \frac{d}{dt} \big|_0 \varphi \circ ( p + tv ) \SR{=}{KR} \sum_{i=1}^n v_i \frac{d}{\partial x_i} \varphi(p)$$ Also: Alte = Neue Def. von Richtungsableitung. \\ Insbesondere entsprechen die kanonischen Basisvektoren von $\RR^n = T_p\RR^n$ den Richtungsableitungen $\frac{\partial}{\partial x_i} \big|p$ \\ Deshalb bezeichnen wir den Tangentialvektor, der durch die Kurve $$ \left \{ \begin{array}{c c c c c} & ( - \varepsilon, \varepsilon ) & \rightarrow & \RR^n & \\ & t & \mapsto & p+te_i & \end{array} \right . $$ repr"asentiert wird mit $$ \frac{\partial}{\partial x_i} = \frac{ \partial }{ \partial x_i} \big |_p \in T_pU = T_pM $$ $\Rightarrow$ Die $\frac{d}{dx_i }$ bilden Basis von $T_pM$. \\ Achtung: Diese Basis ist nur bzgl. einer festen Karte definiert! \\ In lokalen Koordinaten ist: Tangentialabb. $=$ Dif\/ferential der Abb ($=$ Jacobi-Abb.) \begin{sonst}[Definition]{}{} Sei $f: M^m \rightarrow N^n$ dif\/fbare Abb. $p \in M$ $rg_pf := rgT_pf$ hei"st Rang von $f$ in $p$. \\ $f$ hei"st \underline{Immersion}, falls $Rg_pf = dimM = m$ \\ $f$ hei"st \underline{Submersion}, falls $Rg_pf = dimN = n \ \ \forall p \in M$ \end{sonst} \begin{aussage}[Lemma]{}{} Sei $f: M \rightarrow N$ stetig dif\/fbar und $Rg_pf = k$ \\ $ \Rightarrow \exists $ Umgebung $ U = U(p)$ s.d. $rg_qf \geq k \ \forall q \in U$ \\ Bew.: \\ Da der Rang lokal definiert ist, k"onnen wir \OE $\,$ annehemen \\ $$ f: \RR^m \supset U \rightarrow V \subset \RR^n \quad p=0 \in U $$ $$ \Rightarrow T_0f = Df(0) = \left ( \frac{ \partial f_i }{ \partial x_j } \right ) _{\begin{array}{l l} i=1, \cdots, n \\ j=1, \cdots, m \end{array} } $$ \OE $\,$ (durch Vertauschen der Koordinaten) k"onnen wir annehmen: $$ det \left ( \frac{ \partial f_i }{ \partial \partial x_j } \right ) _{i,j=1 \cdots n }^k \neq 0 $$ Da $\frac{ \partial f_i }{ \partial x_j }$ stetig \\ $$ \Rightarrow det \left ( \frac{ \partial f_i }{ \partial x_j }(x) \right )_{i,j=1, \cdots, n }^k \neq 0 \quad \ \forall x \in U(0) $$ $$ \Rightarrow Rg \left ( \frac{ \partial f_i }{ \partial x_j }(x) \right ) \geq k $$ \end{aussage} Der Rang kann also in einer Umgebung nicht fallen, aber er kann steigen: \begin{aussage}[Beispiel]{}{} $$ f : \left \{ \begin{array}{c c c c c} & \RR & \rightarrow & \RR & \\ & x & \mapsto & x^2 & \end{array} \right . $$ $$ \Rightarrow T_pf = 2 \varphi = \left \{ \begin{array}{c c c c c} & 0 & \hbox{ falls } & p=0 & \\ & \neq 0 & \hbox{ falls } & p \neq 0 & \end{array} \right . $$ \end{aussage} Lokale Eigenschaften einer dif\/fbaren Abb. $f:M \rightarrow N$ kann man immer bzgl. Karten beschreiben. \\ Genauer: $$ \begin{array}{c c c c c} & M & \SR{ \longrightarrow}{f} & N & \\ & \bigcup & & \bigcup & \\ & p \in U & & U'& \\ &h \downarrow\ \ & & \downarrow h' & \\ & V & \longrightarrow & V' & \\ & \bigcap & & \bigcap & \\ & \RR^m & & \RR^n & \end{array} $$ Identifiziert man $U$ mit $V$ und $U'$ mit $V'$ so ist $f|U: \RR^m \supset U \rightarrow U' \subset \RR^n$ \\ In lokalen Koordinaten ist $f$ gegeben durch $f: \RR^m \supset U \rightarrow U' \subset \RR^n$ \\ \begin{aussage}[Satz]{(Rangsatz) }{} Sei $f: M^m \rightarrow N^n$ stetig dif\/fbare Abb. von konstantem $Rg(k)$ lokal um $p \in M $ \\ $\Rightarrow$ bzgl. geeigneten lokalen Koordinaten um $p$ ist $f$ gegeben durch $$ \left \{ \begin{array}{c c c c c} & \RR^m \supset U & \longrightarrow & V \subset \RR^n & \\ & (x_1 , \cdots, x_n ) & \mapsto & ( x_1, \cdots, x_k, 0, \cdots, 0 ) & \end{array} \right . $$ \end{aussage} \end{document}