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\lhead{13. Dezember 2004}
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\rhead{\bfseries Vorlesung 16}

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\setlength{\textheight}{22.5 cm}	% height of main text

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

\newcounter{Aussage}

% 1 ------Counter 2 --- 3 Verweisname 
\newenvironment{beh}[3][~]{ \bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\refstepcounter{Aussage} \label{Aussage:#3}
{\bf \underline{#1 \arabic{Aussage}}} #2 : \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip}

% 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{sonst}[3][~]{\bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\label{#1:#3}
{\bf \underline{#1}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par}

% 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{bew}{\bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
{\underline{Beweis}} : \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\begin{flushright}\qedsymbol\end{flushright}\end{quote} \par}

\begin{document}

\begin{beh}[Satz]{(Rangsatz)}{}
	Sei $f:M^m\rightarrow{N}^n$ stetig dif\/fbare Abb. von konstantem Rang $k$ lokal um $p\in{M}$\\
	$\Rightarrow$ bzgl. geeigneten lokalen Koordinaten um $p$ ist $f$ gegeben durch 
	$$
		\left\{\begin{array}{c c c}
			\setR^m\supset{U}&\longrightarrow&V\subset\setR^n\\
			(x_1,\ldots,x_n)&\longmapsto&(x_1,\ldots,x_k,0,\ldots,0)
		\end{array}\right.
	$$
\end{beh}
\begin{bew}
	$\OE$ ist $f$ bereits lokal gegeben durch eine dif\/ferenzierbare Abbildung
	\[
	\setR^m\supset{U}\stackrel{f}{\longrightarrow}V\subseteq\setR^n\qquad\hbox{ um }0\in\setR^m
	\]
	$Rg_{0}f=k\Rightarrow\OE$(nach ev. Umnummerierung der Koordinaten) ist
	\[
	\det{\big(\partialOpFrac{f_i}{x_j}(0)\big)^{k}_{i,j=1}}\neq0
	\]
	\[
	\varphi:
	\left\{
		\begin{array}{r c l}
			U&\longrightarrow&U'\subset\setR^m\\
			(x_1,\ldots,x_m)&\longmapsto&(f_1(x),\ldots,f_k(x),x_{k+1},\ldots,x_m)
		\end{array}
	\right.
	\]
	ist eine dif\/fb. Abbildung mit 
	\[
	D\varphi=
	\begin{pmatrix}
		\partialOpFrac{f_i}{x_j}&\vline&*\\
		\hline
		0&\vline&\mathds{1}\\
	\end{pmatrix}
	\begin{array}{l}
			\left.\right\}k\\
			\left.\right\}n-k\\
	\end{array}
	\]
	$\Rightarrow\det{D}\varphi(\gamma)=\det(\partialOpFrac{f_i}{x_j}(0))\neq{0}$\\
	Satz von der Umkehrabbildung $\Rightarrow$ $\exists$ Umgebung $U_1\subset{U}$ und $U_1'\subset\setR^m$, s.d.\\
	$\varphi\!\mid\!{U_1}:U_1\rightarrow{U_1'}$ umkehrbar ist.\\ $ $ \\
	$
	\begin{array}{r c l}
		U_1\ \ &\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}&\ \ U_1'\\
		f\searrow&&\swarrow{g}:=f\circ\varphi^{-1}\\
		&V_1&\\
	\end{array}
	$
	$
	\begin{array}{l}
		(x_1,\ldots,x_m)\ \longmapsto\ (f_1(x),\ldots,f_k(x),x_{k+1},\ldots,x_m)\\
		\qquad\quad\searrow\qquad\qquad\swarrow\\
		\qquad(f_1(x),\ldots,f_n(x))\\
	\end{array}
	$\\ $ $\\
	$\Rightarrow\ g(y_1,\ldots,y_m)=(y_1,\ldots,y_{k+1},g_{k+1}(y),\ldots,g_m(y))$
	$$
	\Rightarrow Dg=
	\begin{pmatrix}
		\mathds{1}&\vline&0\\
		\hline
		*&\vline&\partialOpFrac{g_i}{y_j}\\
	\end{pmatrix}
	\begin{array}{l}
			\left.\right\}k\\
			\left.\right\}m-k\\
	\end{array}
	$$
	Aber $g$ hat lokal den Rang $k$, denn $Rg\,f=k$\\
	$$\Rightarrow\hbox{ In einer Umgebung von 0 ist }\partialOpFrac{g_i}{y_j}(y)=0\ \ \forall j>k
	\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$
	Also etwa auf $\left\{y\in\setR^n\mid\left|y_i\right|<\varepsilon\ \forall i\right\}$ gilt:
	$$
	\forall i>k\ \hbox{ ist } g_i(y_1,\ldots,y_k,y_{k+1},\ldots,y_n)=g_i(y_1,\ldots,y_k,0,\ldots,0)=:
	g_i(y_1,\ldots,y_k)
	$$
	$\Rightarrow g(y_1,\ldots,y_m)=\big(y_1,\ldots,y_k,g_{k+1}(y_1,\ldots,y_k),\ldots,g_m(y_1,\ldots,y_k)\big)$\\
	 $ $\\
	Wir betrachten jetzt die Koordinatentransformation
	$$
	\psi:
	\left\{
	\begin{array}{c c l}
	\setR^n&\longrightarrow&\setR^n\\
	(z_1,\ldots,z_n)&\longmapsto&\big(z_1,\ldots,z_k,z_{k+1}-g_{k+1}(z_1,\ldots,z_k),\ldots,z_n-g_n(z_1,\ldots,z_k)\big)
	\end{array}
	\right.
	$$
	$\Big(
	\psi^{-1}\hbox{ existiert und ist gegeben durch }\\
	(z_1,\ldots,z_n)\mapsto\big(z_1,\ldots,z_k,z_{k+1}+g_{k+1}(z_1,\ldots,z_k),\ldots,z_n+g_n(z_1,\ldots,z_k)\big)
	\Big)$\\ $ $\\
	$\Rightarrow\psi\circ g(y_1,\ldots,y_m)=
	\psi\big(y_1,\ldots,y_k,g_{k+1}(y_1,\ldots,y_k),\ldots,g_n(y_1,\ldots,y_k)\big)=
	(y_1,\ldots,y_k,0,\ldots,0)$\\ $ $\\
	Aber: $\psi\circ g=\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$. Das liefert die Behauptung.
\end{bew}
\begin{sonst}[Korollar]{}{}
	\begin{enumerate}
	\item Ist $f:M^m\rightarrow{N}^n$ eine Immersion lokal um $p\in$$M$, d.h. $Rg_p f=m$, so ist
		f lokal gegeben durch
		$$
		(x_1,\ldots,x_m)\longmapsto(x_1,\ldots,x_m,0,\ldots,0)
		$$
	\item Ist $f:M^m\rightarrow{N}^n$ eine Submersion lokal um $p\in$$M$, d.h. $Rg_p f=n$, so ist
		f lokal um p gegeben durch
		$$
		(x_1,\ldots,x_m)\longmapsto(x_1,\ldots,x_n)
		$$
	\end{enumerate}
\end{sonst}
	\underline{Bemerkung} : In $(1)$ ist $f$ lokal injektiv, muss aber nicht global injektiv sein.\\
	\newpage
	\underline{Beispiel} : 
	$f:\left\{
	\begin{array}{c c l}
	\setR&\longrightarrow&S^1=\left\{z\in\mathbb{C}\mid\left|z\right|=1\right\}\\
	t&\longmapsto&e^{2\pi i t}
	\end{array}
	\right.$\\
	\begin{center}
		\includegraphics{bsp.pdf}
	\end{center}
	Sei $f:M^m\rightarrow N^n$ dif\/fbare Abbildung dif\/fbarer Mannigfaltigkeiten.
\begin{sonst}[Def.]{}{}
	$q \in N$ heißt regulärer Wert von $f$, falls gilt:
	$$
	Rg_p f=n\ \ \forall{p}\in f^{-1}(g)
	$$
	(Insbesondere $m \geq n$)
\end{sonst}
\begin{beh}[Satz]{(Satz vom regulären Wert)}{}
	Ist $q \in N$ ein regulärer Wert der $\Comp^{\infty}$-Abb. $f:M^m \rightarrow N^n$, so ist
	$$
	f^{-1}(q)\subset{M}
	$$
	eine dif\/fbare Untermannigfaltigkeit der Dimension $m$$-$$n$ von $M$
\end{beh}
\begin{bew}
	Sei $p \in f^{-1}(q)$. Nach Rangsatz hat $f$ in lokalen Koordinaten um $p$ die Gestalt
	$$
	f(x_1,\ldots,x_m)=(x_1,\ldots,x_n)
	$$
	$q$ hat dabei die Koordinaten $0 \in \mathds{R}^n$.\\
	$\Rightarrow$ $f^{-1}(0)$ ist lokal durch die Gleichung $x_1=\ldots=x_n=0$ gegeben.\\
	Das ist aber eine Untermannigfaltigkeit der Dimension $m$$-$$n$.
\end{bew}
\section*{§13 Alternierende Multilinearformen}
\setcounter{Aussage}{0}
	$ $\\
	Sei V ein $n$-dim. $\setR$-VR (später immer $V=T_pM$)\\
	$\forall k \in \mathds{N}$ sei $V^k:=\bigotimes\limits_{i=1}^{k}V=\{(v_1,\ldots,v_k) \mid v_j \in V\}$\\
\begin{sonst}[Def.]{}{}
	Eine Multilinearform vom Grad $k$ oder kurz $k$-Form ist eine multilineare Abb.
	$$
	f : V^k \rightarrow \setR
	$$
	d.h. es gilt $\forall i =1,\ldots,k,\ \forall\lambda,\mu\in\setR,\ v_i,v,w \in V$
	$$
	f(v_1,\ldots,v_{i-1},\lambda v + \mu w,v_{i+1},\ldots,v_k)=
	$$
	$$
	\lambda f(v_1,\ldots,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots,v_k)+
	\mu f(v_1,\ldots,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots,v_k)
	$$
\end{sonst}
\begin{sonst}[Beispiel]{}{}
	Ein Skalarprodukt $<\bullet,\bullet>:V \times V \rightarrow \setR$ ist eine $2$-Form.\\
	Eine $1$-Form ist $l:V\rightarrow\setR$, also ein Element von $V^*$.
\end{sonst}$ $\\
	Die Menge aller k-Formen auf V bildet einen $\setR$-VR, den wir mit $F^kV$ bezeichnen.
\begin{beh}[Lemma]{}{}
	$dimV = n \Rightarrow dimF^kV = n^k$
\end{beh}
\begin{bew}
	Sei $\{e_1,\ldots,e_n\}$ eine Basis von $V$.\\
	Wegen der Multilinearität ist eine $k$-Form eindeutig festgelegt durch ihre Werte auf allen $k$-Tupeln 
	$(e_{i_1},\ldots,e_{i_k})$ und diese Werte kann man beliebig vorgeben.\\
	$\Rightarrow F^kV=\{f:(e_{i_1},\ldots,e_{i_k})\rightarrow\setR\mid 1 \leq i_{\nu} \leq {n},\ \nu=1,\ldots,k\}$\\
	$\Rightarrow$ Die $k$-Tupel bilden Basis von $F^kV$ $\Rightarrow$ $dim F^kV=n^k$
\end{bew}
	Setze $F^0V:=\setR$
\begin{beh}[Proposition]{}{}
	Für eine $k$-Form $f:V^k\rightarrow\setR$ sind äquivalent:
	\begin{enumerate}
	\item $f(v_1,\ldots,v_k)=-f(v_1,\ldots,\overbrace{v_j}^{\# i},\ldots,\overbrace{v_i}^{\# j},\ldots,v_k)$
	\item $f(v_1,\ldots,v_k)=sign(\sigma) \cdot f(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)})\ \ \forall \sigma \in S_k$, wo
	$$
	sign(\sigma)=\prod\limits_{i<j}\frac{i-j}{\sigma(i)-\sigma(j)}
	$$
	\item $f(\ldots,\underbrace{v}_{\# i},\ldots,\underbrace{v}_{\# j},\ldots)=0$
	\end{enumerate}
\end{beh}
\begin{bew}
	$(1) \equival (2)$ : Folgt daraus, dass die Gruppe $S_k$ von Transpositionen erzeugt wird.
	$(1) \Rightarrow (3)$ : $f(\ldots,\underbrace{v}_{\# i},\ldots,\underbrace{v}_{\# j},\ldots)=
	-f(\ldots,\underbrace{v}_{\# i},\ldots,\underbrace{v}_{\# j},\ldots)\Rightarrow\ =0$\\
	$(3) \Rightarrow (1)$ : $0=f(\ldots,\underbrace{v_i+v_j}_{\# i},\ldots,\underbrace{v_i+v_j}_{\# j},\ldots)=$\\
	\hspace*{2.4cm}$=f(\ldots,\underbrace{v_i}_{\# i},\ldots,\underbrace{v_i}_{\# j},\ldots)+
	f(\ldots,\underbrace{v_i}_{\# i},\ldots,\underbrace{v_j}_{\# j},\ldots)+$\\
	\hspace*{2.4cm}$+\;f(\ldots,\underbrace{v_j}_{\# i},\ldots,\underbrace{v_j}_{\# j},\ldots)+
	f(\ldots,\underbrace{v_j}_{\# i},\ldots,\underbrace{v_i}_{\# j},\ldots)$\\
	\hspace*{2.4cm}$\Rightarrow f(\ldots,\underbrace{v_i}_{\# i},\ldots,\underbrace{v_j}_{\# j},\ldots)
	=-f(\ldots,\underbrace{v_j}_{\# i},\ldots,\underbrace{v_i}_{\# j},\ldots)$
\end{bew}
\begin{sonst}[Def.]{}{}
	Eine $k$-Form $f:V^k\rightarrow\setR$ heißt alternierend, wenn eine der 3 
	Bedingungen aus Proposition 2 erfüllt ist.\\
	$	Alt^k(V):=\{f \in F^kV \mid f\hbox{ alternierend }\} \hbox{ ist ein UVR von }F^kV$
\end{sonst}
\begin{beh}[Proposition]{}{}
	Sei $f:V^k\rightarrow\setR$ alternierend.\\
	Sind $\{v_1,\ldots,v_k\}\in{V}$ lin. abh. $\Rightarrow f(v_1,\ldots,v_k)=0$
\end{beh}
\begin{bew}
	$\{v_1,\ldots,v_k\}\in{V}$ lin. abh. $\Rightarrow$ $\sum\limits_{i=1}^{k}\alpha_i v_i=0$ 
	und nicht alle $\alpha_i=0$\\
	$\OE$ $\ \alpha_k=1 \Rightarrow v_k=-\sum\limits^{k-1}_{i=1}\alpha_i v_i$\\
	$f(v_1,\ldots,v_k)=f(v_1,\ldots,v_{k-1},-\sum\limits_{i=1}^{k-1}\alpha_i v_i)=
	-\sum\limits_{i=1}^{k-1}\alpha_i f(v_1,\ldots,v_{k-1},v_i)=0$
\end{bew}
\begin{sonst}[Korollar]{}{}
	$k>dimV\Rightarrow Alt^k(V)=0$
\end{sonst}
	Die Gruppe $S_k$ operiert auf $F^kV$ mittels
	$$
	\left\{
		\begin{array}{c c c}
		S_k \times F^kV&\rightarrow&F^kV\\
		(\sigma,f)&\mapsto&\sigma \circ f
		\end{array}
	\right.
	$$
	Wobei $\sigma\circ f(v_1,\ldots,v_k)=sign(\sigma)f(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)})$\\
	Nach Proposition 2 gilt: $f \in Alt^k(V)\equival \sigma\circ f=f\ \ \forall\sigma\in S_k$
	$$
	\hbox{Definiere \underline{Projektion}}\quad\qquad\qquad p:\left\{
		\begin{array}{c c c}
		F^kV&\rightarrow&F^kV\\
		f&\mapsto&\frac{1}{k!}\sum\limits_{\sigma\in S_k}\sigma\circ f
		\end{array}
	\right.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
	$$
	\begin{beh}[Lemma]{}{}
	$p$ ist eine Projektion, d.h. eine $\setR$-lineare Abbildung mit $p^2=p$.
	\end{beh}
	\begin{bew}
	$p$ ist of\/fensichtlich $\setR$-linear.\\
	Nach Proposition 2 ist Im$\,p\subset Alt^k(V)$, denn $\forall\tau\in S_k$ ist
	$$
	\tau\big(\frac{1}{k!}\sum\limits_{\sigma\in S_k}\sigma\circ f\big)=
	\frac{1}{k!}\sum\limits_{\sigma\in S_k}(\tau\sigma)\circ f=
	\frac{1}{k!}\sum\limits_{(\tau\sigma)\in S_k}(\tau\sigma)\circ f=
	\frac{1}{k!}\sum\limits_{\sigma\in S_k}\sigma\circ f
	$$
	Sei $f\in Alt^k(V)\ \ $ \underline{z.z.} $p(f)=f$\\
	$p(f)=\frac{1}{k!}\sum\limits_{\sigma\in S_k}\sigma\circ f=\frac{1}{k!}\sum\limits_{\sigma\in S_k}f=
	\frac{k!}{k!}f=f$
	\end{bew}
\end{document}
