\documentclass[12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{latexsym} \usepackage{ngerman} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb} \usepackage{dsfont} \usepackage{graphicx} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{lange} \usepackage{a4wide} \usepackage{theorem} \usepackage{mathrsfs} \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \lhead{13. Dezember 2004} \chead{} \rhead{\bfseries Vorlesung 16} \setlength{\topmargin}{-2 cm}\setlength{\topskip}{0.5cm} % between header and text \setlength{\textheight}{22.5 cm} % height of main text \renewcommand{\baselinestretch}{1.3} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \newcounter{Aussage} % 1 ------Counter 2 --- 3 Verweisname \newenvironment{beh}[3][~]{ \bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt \refstepcounter{Aussage} \label{Aussage:#3} {\bf \underline{#1 \arabic{Aussage}}} #2 : \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip} % 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname \newenvironment{sonst}[3][~]{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt \label{#1:#3} {\bf \underline{#1}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par} % 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname \newenvironment{bew}{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt {\underline{Beweis}} : \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\begin{flushright}\qedsymbol\end{flushright}\end{quote} \par} \begin{document} \begin{beh}[Satz]{(Rangsatz)}{} Sei $f:M^m\rightarrow{N}^n$ stetig dif\/fbare Abb. von konstantem Rang $k$ lokal um $p\in{M}$\\ $\Rightarrow$ bzgl. geeigneten lokalen Koordinaten um $p$ ist $f$ gegeben durch $$ \left\{\begin{array}{c c c} \setR^m\supset{U}&\longrightarrow&V\subset\setR^n\\ (x_1,\ldots,x_n)&\longmapsto&(x_1,\ldots,x_k,0,\ldots,0) \end{array}\right. $$ \end{beh} \begin{bew} $\OE$ ist $f$ bereits lokal gegeben durch eine dif\/ferenzierbare Abbildung \[ \setR^m\supset{U}\stackrel{f}{\longrightarrow}V\subseteq\setR^n\qquad\hbox{ um }0\in\setR^m \] $Rg_{0}f=k\Rightarrow\OE$(nach ev. Umnummerierung der Koordinaten) ist \[ \det{\big(\partialOpFrac{f_i}{x_j}(0)\big)^{k}_{i,j=1}}\neq0 \] \[ \varphi: \left\{ \begin{array}{r c l} U&\longrightarrow&U'\subset\setR^m\\ (x_1,\ldots,x_m)&\longmapsto&(f_1(x),\ldots,f_k(x),x_{k+1},\ldots,x_m) \end{array} \right. \] ist eine dif\/fb. Abbildung mit \[ D\varphi= \begin{pmatrix} \partialOpFrac{f_i}{x_j}&\vline&*\\ \hline 0&\vline&\mathds{1}\\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \left.\right\}k\\ \left.\right\}n-k\\ \end{array} \] $\Rightarrow\det{D}\varphi(\gamma)=\det(\partialOpFrac{f_i}{x_j}(0))\neq{0}$\\ Satz von der Umkehrabbildung $\Rightarrow$ $\exists$ Umgebung $U_1\subset{U}$ und $U_1'\subset\setR^m$, s.d.\\ $\varphi\!\mid\!{U_1}:U_1\rightarrow{U_1'}$ umkehrbar ist.\\ $ $ \\ $ \begin{array}{r c l} U_1\ \ &\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}&\ \ U_1'\\ f\searrow&&\swarrow{g}:=f\circ\varphi^{-1}\\ &V_1&\\ \end{array} $ $ \begin{array}{l} (x_1,\ldots,x_m)\ \longmapsto\ (f_1(x),\ldots,f_k(x),x_{k+1},\ldots,x_m)\\ \qquad\quad\searrow\qquad\qquad\swarrow\\ \qquad(f_1(x),\ldots,f_n(x))\\ \end{array} $\\ $ $\\ $\Rightarrow\ g(y_1,\ldots,y_m)=(y_1,\ldots,y_{k+1},g_{k+1}(y),\ldots,g_m(y))$ $$ \Rightarrow Dg= \begin{pmatrix} \mathds{1}&\vline&0\\ \hline *&\vline&\partialOpFrac{g_i}{y_j}\\ \end{pmatrix} \begin{array}{l} \left.\right\}k\\ \left.\right\}m-k\\ \end{array} $$ Aber $g$ hat lokal den Rang $k$, denn $Rg\,f=k$\\ $$\Rightarrow\hbox{ In einer Umgebung von 0 ist }\partialOpFrac{g_i}{y_j}(y)=0\ \ \forall j>k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$$ Also etwa auf $\left\{y\in\setR^n\mid\left|y_i\right|<\varepsilon\ \forall i\right\}$ gilt: $$ \forall i>k\ \hbox{ ist } g_i(y_1,\ldots,y_k,y_{k+1},\ldots,y_n)=g_i(y_1,\ldots,y_k,0,\ldots,0)=: g_i(y_1,\ldots,y_k) $$ $\Rightarrow g(y_1,\ldots,y_m)=\big(y_1,\ldots,y_k,g_{k+1}(y_1,\ldots,y_k),\ldots,g_m(y_1,\ldots,y_k)\big)$\\ $ $\\ Wir betrachten jetzt die Koordinatentransformation $$ \psi: \left\{ \begin{array}{c c l} \setR^n&\longrightarrow&\setR^n\\ (z_1,\ldots,z_n)&\longmapsto&\big(z_1,\ldots,z_k,z_{k+1}-g_{k+1}(z_1,\ldots,z_k),\ldots,z_n-g_n(z_1,\ldots,z_k)\big) \end{array} \right. $$ $\Big( \psi^{-1}\hbox{ existiert und ist gegeben durch }\\ (z_1,\ldots,z_n)\mapsto\big(z_1,\ldots,z_k,z_{k+1}+g_{k+1}(z_1,\ldots,z_k),\ldots,z_n+g_n(z_1,\ldots,z_k)\big) \Big)$\\ $ $\\ $\Rightarrow\psi\circ g(y_1,\ldots,y_m)= \psi\big(y_1,\ldots,y_k,g_{k+1}(y_1,\ldots,y_k),\ldots,g_n(y_1,\ldots,y_k)\big)= (y_1,\ldots,y_k,0,\ldots,0)$\\ $ $\\ Aber: $\psi\circ g=\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$. Das liefert die Behauptung. \end{bew} \begin{sonst}[Korollar]{}{} \begin{enumerate} \item Ist $f:M^m\rightarrow{N}^n$ eine Immersion lokal um $p\in$$M$, d.h. $Rg_p f=m$, so ist f lokal gegeben durch $$ (x_1,\ldots,x_m)\longmapsto(x_1,\ldots,x_m,0,\ldots,0) $$ \item Ist $f:M^m\rightarrow{N}^n$ eine Submersion lokal um $p\in$$M$, d.h. $Rg_p f=n$, so ist f lokal um p gegeben durch $$ (x_1,\ldots,x_m)\longmapsto(x_1,\ldots,x_n) $$ \end{enumerate} \end{sonst} \underline{Bemerkung} : In $(1)$ ist $f$ lokal injektiv, muss aber nicht global injektiv sein.\\ \newpage \underline{Beispiel} : $f:\left\{ \begin{array}{c c l} \setR&\longrightarrow&S^1=\left\{z\in\mathbb{C}\mid\left|z\right|=1\right\}\\ t&\longmapsto&e^{2\pi i t} \end{array} \right.$\\ \begin{center} \includegraphics{bsp.pdf} \end{center} Sei $f:M^m\rightarrow N^n$ dif\/fbare Abbildung dif\/fbarer Mannigfaltigkeiten. \begin{sonst}[Def.]{}{} $q \in N$ heißt regulärer Wert von $f$, falls gilt: $$ Rg_p f=n\ \ \forall{p}\in f^{-1}(g) $$ (Insbesondere $m \geq n$) \end{sonst} \begin{beh}[Satz]{(Satz vom regulären Wert)}{} Ist $q \in N$ ein regulärer Wert der $\Comp^{\infty}$-Abb. $f:M^m \rightarrow N^n$, so ist $$ f^{-1}(q)\subset{M} $$ eine dif\/fbare Untermannigfaltigkeit der Dimension $m$$-$$n$ von $M$ \end{beh} \begin{bew} Sei $p \in f^{-1}(q)$. Nach Rangsatz hat $f$ in lokalen Koordinaten um $p$ die Gestalt $$ f(x_1,\ldots,x_m)=(x_1,\ldots,x_n) $$ $q$ hat dabei die Koordinaten $0 \in \mathds{R}^n$.\\ $\Rightarrow$ $f^{-1}(0)$ ist lokal durch die Gleichung $x_1=\ldots=x_n=0$ gegeben.\\ Das ist aber eine Untermannigfaltigkeit der Dimension $m$$-$$n$. \end{bew} \section*{§13 Alternierende Multilinearformen} \setcounter{Aussage}{0} $ $\\ Sei V ein $n$-dim. $\setR$-VR (später immer $V=T_pM$)\\ $\forall k \in \mathds{N}$ sei $V^k:=\bigotimes\limits_{i=1}^{k}V=\{(v_1,\ldots,v_k) \mid v_j \in V\}$\\ \begin{sonst}[Def.]{}{} Eine Multilinearform vom Grad $k$ oder kurz $k$-Form ist eine multilineare Abb. $$ f : V^k \rightarrow \setR $$ d.h. es gilt $\forall i =1,\ldots,k,\ \forall\lambda,\mu\in\setR,\ v_i,v,w \in V$ $$ f(v_1,\ldots,v_{i-1},\lambda v + \mu w,v_{i+1},\ldots,v_k)= $$ $$ \lambda f(v_1,\ldots,v_{i-1},v,v_{i+1},\ldots,v_k)+ \mu f(v_1,\ldots,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots,v_k) $$ \end{sonst} \begin{sonst}[Beispiel]{}{} Ein Skalarprodukt $<\bullet,\bullet>:V \times V \rightarrow \setR$ ist eine $2$-Form.\\ Eine $1$-Form ist $l:V\rightarrow\setR$, also ein Element von $V^*$. \end{sonst}$ $\\ Die Menge aller k-Formen auf V bildet einen $\setR$-VR, den wir mit $F^kV$ bezeichnen. \begin{beh}[Lemma]{}{} $dimV = n \Rightarrow dimF^kV = n^k$ \end{beh} \begin{bew} Sei $\{e_1,\ldots,e_n\}$ eine Basis von $V$.\\ Wegen der Multilinearität ist eine $k$-Form eindeutig festgelegt durch ihre Werte auf allen $k$-Tupeln $(e_{i_1},\ldots,e_{i_k})$ und diese Werte kann man beliebig vorgeben.\\ $\Rightarrow F^kV=\{f:(e_{i_1},\ldots,e_{i_k})\rightarrow\setR\mid 1 \leq i_{\nu} \leq {n},\ \nu=1,\ldots,k\}$\\ $\Rightarrow$ Die $k$-Tupel bilden Basis von $F^kV$ $\Rightarrow$ $dim F^kV=n^k$ \end{bew} Setze $F^0V:=\setR$ \begin{beh}[Proposition]{}{} Für eine $k$-Form $f:V^k\rightarrow\setR$ sind äquivalent: \begin{enumerate} \item $f(v_1,\ldots,v_k)=-f(v_1,\ldots,\overbrace{v_j}^{\# i},\ldots,\overbrace{v_i}^{\# j},\ldots,v_k)$ \item $f(v_1,\ldots,v_k)=sign(\sigma) \cdot f(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)})\ \ \forall \sigma \in S_k$, wo $$ sign(\sigma)=\prod\limits_{idimV\Rightarrow Alt^k(V)=0$ \end{sonst} Die Gruppe $S_k$ operiert auf $F^kV$ mittels $$ \left\{ \begin{array}{c c c} S_k \times F^kV&\rightarrow&F^kV\\ (\sigma,f)&\mapsto&\sigma \circ f \end{array} \right. $$ Wobei $\sigma\circ f(v_1,\ldots,v_k)=sign(\sigma)f(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(k)})$\\ Nach Proposition 2 gilt: $f \in Alt^k(V)\equival \sigma\circ f=f\ \ \forall\sigma\in S_k$ $$ \hbox{Definiere \underline{Projektion}}\quad\qquad\qquad p:\left\{ \begin{array}{c c c} F^kV&\rightarrow&F^kV\\ f&\mapsto&\frac{1}{k!}\sum\limits_{\sigma\in S_k}\sigma\circ f \end{array} \right.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ \begin{beh}[Lemma]{}{} $p$ ist eine Projektion, d.h. eine $\setR$-lineare Abbildung mit $p^2=p$. \end{beh} \begin{bew} $p$ ist of\/fensichtlich $\setR$-linear.\\ Nach Proposition 2 ist Im$\,p\subset Alt^k(V)$, denn $\forall\tau\in S_k$ ist $$ \tau\big(\frac{1}{k!}\sum\limits_{\sigma\in S_k}\sigma\circ f\big)= \frac{1}{k!}\sum\limits_{\sigma\in S_k}(\tau\sigma)\circ f= \frac{1}{k!}\sum\limits_{(\tau\sigma)\in S_k}(\tau\sigma)\circ f= \frac{1}{k!}\sum\limits_{\sigma\in S_k}\sigma\circ f $$ Sei $f\in Alt^k(V)\ \ $ \underline{z.z.} $p(f)=f$\\ $p(f)=\frac{1}{k!}\sum\limits_{\sigma\in S_k}\sigma\circ f=\frac{1}{k!}\sum\limits_{\sigma\in S_k}f= \frac{k!}{k!}f=f$ \end{bew} \end{document}