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\lhead{20. Dezember 2004}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 18}

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\newcounter{Korollar}

\setcounter{Proposition}{1}
\setcounter{Lemma}{1}
% 1 Art der Aussage/Counter 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{aussage}[3][~]{ \bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\refstepcounter{#1} \label{#1:#3}
%{\bf \underline{#1 \arabic{#1}}} #2: \\} {\medskip \par}
{\bf \underline{#1 \arabic{#1}}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par}

% 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{sonst}[3][~]{\bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\label{#1:#3}
{\bf \underline{#1}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par}

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\begin{document}
\flushleft

\section*{§14 Dif\/ferentialformen auf $\RR^n$}
$\RR^n,\ p \in \RR^n$\\
$T_p\RR^n = \{ p+v \mid  v \in \RR^n \} = p + \RR^n$\\
$
\exists \hbox{ kanonische Bijektion } \left \{ 
\begin{array}{l l}
T_p\RR^n \rightarrow \RR^n \\ p+v \mapsto v 
\end{array}
\right .
$\\
Wir fassen $T_p\RR^n$ immer bzgl. dieser Identifikation als $\RR^n$ auf.\\ $ $\\
Sei $e_1 = (1,0, \ldots , 0), \ldots , e_n = (0, \ldots , 0, 1)$ die kanonische Basis von
$\RR^n=T_p\RR^n$.\\
 Wir k"onnen $e_i$ mit $\frac{\partial}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i} \big |_p$ identifizieren.
\begin{sonst}[Definition]{}{} 
Ein \underline{Vektorfeld} auf $\RR^n$ ist eine Abb.
$$
v : \left \{ 
\begin{array}{l l}
\RR^n \rightarrow \Cup_{p \in \RR^n}T_p\RR^n \\ 
p \mapsto v(p) = \sum\limits_{i=1}^{n}a_i(p)e_i = \sum\limits_{i=1}^{n}a_i(p) \frac{\partial}{\partial x_i} \big |_p 
\end{array}
\right .
$$
mit Funktionen $a_i: \RR^n \rightarrow \RR$.\\
Ein VF $v$ auf $\RR^n$ hei"st dif\/fbar ($\infty$ oft dif\/fbar), wenn alle $a_i$ dif\/fbar sind.
\end{sonst}

$\forall p \in \RR^n$ sei $(T_p\RR^n)^\ast$ der Dualraum.\\
Es bezeichne $\{dx_i \big |_p \mid_{i=1, \cdots , n} \}$ die duale Basis von $\left \{ \frac{\partial}{\partial x_i} \big|_p \right \}$,
d.h. $dx_i \big |_p \left ( \frac{\partial}{\partial x_j}\big |_p \right ) = \delta_{ij}$ \\
Eine \underline{Form vom Grad} 1 auf $\RR^n$ ist eine Abb. $$ \omega : \RR^n \rightarrow \Cup_{p \in \RR^n}(T_p\RR^n)^\ast $$
Eine \underline{Dif\/ferentialform vom Grad 1} auf $\RR^n$ oder kurz \underline{(dif\/fb.) 1-Form} auf $\RR^n$ ist eine Abb.
$ \omega: \RR^n \rightarrow \Cup_{p \in \RR^n}(T_p\RR^n)^\ast$ derart, dass
$$
w(p) = \sum\limits_{i=1}^{n}a_i(p)dx_i \big |_p =: \sum\limits_{i=1}^{n}a_idx_i
$$
mit dif\/fbaren Funktionen $a_i: \RR^n \rightarrow \RR$
\begin{sonst}[Beispiel]{}{}
$f: \RR^n \rightarrow \RR$ dif\/fbar.\\
Das \underline{Dif\/ferential} $\df$ ist definiert durch \fbox{
$\df\big |_p(v_p) := v_p(f) \quad \forall p \in \RR^n \, \forall v_p \in \RR^n $}
= Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v_p$ an der Stelle $p$
\end{sonst}
Wir hatten in $\mathsection$13:
$$\{dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k} \big | _p \mid 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n \}
\hbox{ ist Basis von }Alt^k(T_p\RR^n)$$ \\ $ $\\
Eine \underline{Dif\/ferentialform vom Grad k} auf $\RR^n$ oder kurz \underline{(dif\/fbare) k-Form } ist eine Abb.
$\varphi: \RR^n \rightarrow  \Cup_{p \in \RR^n}Alt^k(T_p\RR^n)$ %\big |_p
derart, dass
$$\varphi(p) = \sum\limits_{1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n}
a_{i_1 \ldots i_k}(p)\ dx_{i_1}\big |_p \wedge \ldots \wedge dx_{i_k}\big |_p=:
\sum\limits_{1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n}
a_{i_1 \ldots i_k}\ dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_k}$$
mit dif\/fbaren Funktionen $a_{i_1 \ldots i_k}: \RR^n \rightarrow \RR$\\ $ $\\
§13 Korollar $\Rightarrow$ Sind $\omega_1, \ldots , \omega_k$ 1-Formen
und $v_1, \ldots, v_k$ VF auf $\RR^n$, so ist 
$$(\varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_k)(v_1, \ldots , v_k) = det(\varphi_i(v_j))$$
insbesondere
\begin{eqnarray*}
dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_k} \left ( \frac{\partial}{\partial x_{j_1}}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{j_k}} \right )
& = & \delta_{j_1 \ldots j_k}^{i_1 \ldots i_k} := \delta_{i_1j_1} \ldots \delta_{i_kj_k} \\ & = &
\left \{ \begin{array}{l l} 1 \hbox{ falls } (i_1 \ldots i_k) = (j_1 \ldots j_k) \\ 0 \hbox{ sonst }\end{array} \right.
\end{eqnarray*}
Schreibweise: $I:1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n$ \\
$$ \varphi = \sum\limits_Ia_Idx_I := \sum\limits_{1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n}a_{i_1 \ldots i_k}dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_k} $$
Eine \underline{(dif\/fbare) 0-Form} auf $\RR^n$ ist eine dif\/fbare Funktion $f: \RR^n \rightarrow \RR$
\begin{sonst}[Beispiele]{f"ur $\RR^3$}{}
% \\
0-Formen: $f:\RR^3 \rightarrow R$ \\
1-Formen: $a_1dx_1+a_2dx_2+a_3dx_3$ \\
2-Formen: $a_{12}dx_1 \wedge dx_2 + a_{13}dx_1 \wedge dx_3 + a_{23}dx_2 \wedge dx_3$ \\
3-Formen: $a_{123}dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3$ 
\end{sonst}
Sei $\omega_1 = \sum\limits_I a_Idx_1, \ \omega_2 = \sum\limits_I b_Idx_1$ dif\/fbare $k$-Formen.
$$\Rightarrow \omega_1 + \omega_2 := \sum\limits_I(a_I + b_I)dx_I$$
Sei $\omega = \sum\limits_I a_Idx_I$ $k$-Form und $\varphi = \sum\limits_J a_J dx_J$ $l$-Form
$$
\Rightarrow \omega \wedge \varphi := \sum\limits_I a_I dx_I \wedge \sum\limits_J b_J dx_J = 
\sum\limits_{I,J} a_Ib_J dx_I \wedge dx_J
$$
ist eine dif\/fbare ($k+l$)-Form.

\begin{sonst}[Beispiel]{}{}
$\omega=x_1dx_1 + x_2dx_2 + x_3dx_3 \quad 1$-Form auf $\RR^3$\\
$\varphi = x_1dx_1 \wedge dx_2 + dx_1 \wedge dx_3 \quad 2$-Form auf $\RR^3$
\begin{eqnarray*}
	\omega \wedge \varphi & = & ( x_1dx_1 + x_2dx_2 + x_3dx_3) \wedge (x_1dx_1 \wedge dx_2 + dx_1 \wedge dx_3)\\
		  & = & x_1^2dx_1 \wedge dx_1 \wedge dx_2 + x_1dx_1 \wedge dx_1 \wedge dx_3 + x_1x_2dx_2 \wedge dx_1 \wedge dx_2\\
		  & + & x_2dx_2 \wedge dx_1 \wedge dx_3 + x_1x_3dx_3 \wedge dx_1 \wedge dx_2 + x_3dx_3 \wedge dx_1 \wedge dx_3\\
		  & = & -x_2dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 + x_1x_3dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3\\
		  & = & (x_1x_3 - x_2)dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3
\end{eqnarray*}
\end{sonst}
\begin{aussage}[Proposition]{}{}
Sei $\omega=k$-Form, $\varphi = l$-Form, $\psi=m$-Form auf $\RR^n$
\begin{itemize}
\item [(1)] $\omega \wedge ( \varphi + \psi ) = \omega \wedge \varphi + \omega \wedge \psi$ falls $l=m$
\item [(2)] $\omega \wedge \varphi = (-1)^{kl}\varphi \wedge \omega$
\item [(3)] $(\omega \wedge \varphi)\wedge \psi = \omega \wedge (\varphi \wedge \psi )$
\end{itemize}
Bew.: \\
$\mathsection$ 13 Proposition 5
\end{aussage}
\begin{sonst}[Beispiel]{}{}
Obwohl $\omega \wedge \omega = 0$ f"ur $1$-Formen ist, gilt nicht notwendig $\omega \wedge \omega = 0$ f"ur beliebige $k$-Formen: z.B. $\omega = dx_1 \wedge dx_2 + dx_3 \wedge dx_4 $ auf $\RR^4$ 
\begin{eqnarray*}
\omega \wedge \omega & = & ( dx_1 \wedge dx_2 + dx_3 \wedge dx_4 ) \wedge ( dx_1 \wedge dx_2 + dx_3 \wedge dx_4 ) \\
		& = & dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_1 \wedge dx_2 + dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \wedge dx_4 + \\
		& + & dx_3 \wedge dx_4 \wedge dx_1 \wedge dx_2 + dx_3 \wedge dx_4 \wedge dx_3 \wedge dx_4 \\
		& = & 2 ( dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \wedge dx_4 ) \neq 0
\end{eqnarray*}
\end{sonst}

Sei $f:\RR^n \rightarrow \RR^m$ dif\/fbar. F"ur jedes $p \in R^n$
ist $\df \big |_p := Df \big | _p : T_p\RR^n \rightarrow T_{f(p)}\RR^m$
ein VR-Homomorphismus, das \underline{Dif\/ferential von $f \hbox{ in } p$}\\ $ $\\
$\mathsection$ 13 Proposition 7 $\Rightarrow \df_p$ induziert einen $\RR$-VR Homomorphismus
$$(\df_p)^\ast = Alt^k(\df_p): Alt^k(T_{f(p)}\RR^n) \rightarrow Alt^k(T_p\RR^n)$$
Das gilt $\forall p \in \RR^n$
$\Rightarrow f$ induziert Abb. $f^\ast: \{k$-Formen auf $\RR^m\} \rightarrow \{k$-Formen von $\RR^n \}$,\\
n"amlich: ist $\omega$ eine $k$-Form auf $\RR^m \, (k \geq 1)$
$$
f^\ast \omega \big |_p (v_1, \ldots, v_k) := \omega \big |_{f(p)}(\df_p(v_1), \ldots, \df_p(v_k)) \ \forall p \in \RR^n,
											\ \forall v_1, \ldots, v_k \in T_p\RR^n
$$
F"ur $0$-Formen setzen wir: $f^\ast g := g \circ f$
\begin{aussage}[Lemma]{}{}
Sei $f: \RR^n \rightarrow \RR^m$ dif\/fbar,$\ \varphi,\psi = k$-Formen auf $\RR^m$, $g = 0$-Form auf $\RR^m$
\begin{itemize}
\item [(1)] $ f^\ast(\varphi + \psi) = f^\ast \varphi + f^\ast \psi$
\item [(2)] $f^\ast (g \varphi) = f^\ast g \cdot f^\ast \varphi$
\item [(3)] Sind $\omega_1, \ldots, \omega_k \quad 1$-Formen auf $\RR^m$ so ist \\
		$f^\ast(\omega_1 \wedge \ldots \wedge \omega_k) = (f^\ast \omega_1) \wedge \ldots \wedge (f^\ast \omega_k)$
\end{itemize}
Bew.: \\
Sei $p \in \RR^n, \ v_1, \ldots, v_k \in T_p\RR^n$
\begin{itemize}
\item [(1)] 
\begin{eqnarray*} f^\ast(\varphi + \psi) \big | _p (v_1, \ldots, v_k) & = & (\varphi+\psi ) \big |_{f(p)} ( \df_p (v_1),
			\ldots, \df_p(v_k)) \\
			& = & \varphi \big|_{f(p)} ( \df_p (v_1), \ldots, \df_p(v_k))+ \\
			& + & \psi \big|_{f(p)} ( \df_p (v_1), \ldots, \df_p(v_k)) \\
			& = & (f^\ast \varphi) \big | _p ( v_1, \ldots, v_k ) + (f^\ast \psi ) \big | _p ( v_1, \ldots, v_k ) 
\end{eqnarray*}

\item [(2)] 
\begin{eqnarray*} f^\ast(g \cdot \varphi ) \big | _p (v_1, \ldots, v_k) & = & (g \varphi ) \big |_{f(p)} ( \df_p (v_1),
			\ldots, \df_p(v_k)) \\
			& = & g \circ f (p) \cdot \varphi \big | _{f(p)} ( \df_p (v_1), \ldots, \df_p(v_k)) \\
			& = & f^\ast g \big | _p \cdot (f^\ast \varphi ) \big | _p ( v_1, \ldots, v_k) \\
\end{eqnarray*}
\item [(3)]
\begin{eqnarray*} f^\ast(\varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_k) \big | _p (v_1, \ldots, v_k) &=& 
			(\varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_k) \big | _{f(p)} ( \df_p (v_1), \ldots, \df_p(v_k)) \\
			& = & det ( \varphi_i \big | _{f(p)} (\df_p ( v_j ))) \\
			& = & det ( f^ \ast \varphi_i \big | _p (v_j) ) \\
			& = & f^\ast \varphi_1 \big | _p \wedge \ldots \wedge f^\ast \varphi_k \big | _p (v_1, \ldots, v_k)
\end{eqnarray*}
\end{itemize}
\end{aussage}
Sei $\RR^n = \RR^n(x_1, \ldots, x_n), \, \RR^m = \RR^m (y_1, \ldots , y_m)$\\
$\Rightarrow f: \RR^n \rightarrow \RR^m$ ist gegeben durch $y_1 = f_1(x_1, \ldots ,x_n), \ldots ,y_m=f_m(x_1, \ldots, x_n)$ \\
$\forall p \in \RR^n $ ist $\df_i \big |_p: T_p\RR^n \rightarrow T_{f_i(p)}\RR = \RR$ \\
Das liefert die Abb.
$$
\left \{ \begin{array}{l l}\RR^n \rightarrow \Cup_{p \in \RR^n}(T_p\RR)^\ast \\ p \mapsto \df_i \big |_p \end{array} \right .
\quad \hbox{ also eine 1- Form}
$$
Also : $\df_i$ ist das Dif\/ferential von $f_i$.\\
Das gilt $\forall f \in \mathscr{C}^\infty(\RR^n)$.
Insbesondere: $dx_i =$ das Dif\/ferential der Funktion $x_i$
\begin{sonst}[Korollar]{}{}
$\omega=\sum\limits_Ia_Idy_I \quad k$-Form auf $\RR^m$ \\
$\Rightarrow f^\ast \omega = \sum\limits_I a_I(f_1, \ldots, f_m)\;\df_{i_1} \wedge \ldots \wedge \df_{i_k}$ \\
Bew.: 
\begin{eqnarray*}
f^\ast \omega & \SR{=}{L2(1),(2)} & \sum\limits_I f^\ast (a_I) f^\ast ( dy_{i_1} \wedge \ldots \wedge dy_{i_k} ) \\ 
	      &	\SR{=}{L2(3)} & \sum\limits_I f^\ast (a_I) (f^\ast dy_{i_1} \wedge \ldots \wedge f^\ast dy_{i_k} )
\end{eqnarray*}
Aber $\forall p \in \RR^n,\ \forall v \in T_p\RR^n$ ist: 
\begin{eqnarray*}
f^\ast dy_i \big |_p (v) & = & dy_i \big |_{f(p)}(\df \big |_p(v)) \\
			& = & (dy_i \circ \df) \big | _p (v) \\
			  &  = & d(y_i \circ f ) \big |_p (v) \, \hbox{ (Kettenregel)} \\
			& = & \df_i \big |_p(v) \, \Rightarrow f ^\ast dy_i = \df_i
\end{eqnarray*}
$\Rightarrow f^{\ast} \omega = \sum\limits_Ia_I(f_1, \ldots , f_m) \ \df_{i_1} \wedge \ldots \wedge \df_{i_k}$
\end{sonst}

\begin{sonst}[Bemerkung]{}{}
	Ist $U \subset \RR^n$ of\/fen, so ist eine $k$-Form auf $U$ eine Abb. $U \rightarrow \Cup_{p \in U}
	Alt^k(T_p\RR^n)$, s.d.
	$$\omega(p) = \sum\limits_I a_I(p)dx_I \big |_p$$
	mit $a_I:U \rightarrow \RR$ dif\/fbar auf $U$.
\end{sonst}
\end{document}
