\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm,amsmath}
\usepackage{dsfont}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{a4wide}
\pagestyle{fancy}
\lhead{20. Oktober 2004}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 2}

\setlength{\parindent}{0pt}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{satz}{Satz}
\newtheorem{kor}{Korollar}
\newtheorem{lem}{Lemma}
\newtheorem{pro}{Proposition}
\newtheorem{bsp}{Beispiel}
\newtheorem{Def}{Definition}
\newcommand{\nl}{\strut}
\newcommand{\Rset}{\mathds{R}}
\newcommand{\implic}{\ensuremath \Rightarrow}
\newcommand{\equival}{\ensuremath \Leftrightarrow}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\newcommand{\prop}{\;\mid\;}
\newcommand{\chara}{\textrm{\Large$\chi$}}

\newcommand{\unterint}{\sideset{}{_*}\int\limits}
\newcommand{\oberint}{\sideset{}{^*}\int\limits}
\newcommand{\untersum}[1]{\underline{S}_{#1}}
\newcommand{\obersum}[1]{\overline{S}_{#1}}

\renewcommand{\proofname}{Beweis}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

\begin{document}


\begin{kor}
\nl
\begin{enumerate}
\item 
    Sei $f:Q \to \Rset$ stetig
    \[\implic \int_{Q}{f(x,y)\ud(x,y)} = \int_c^d{\left(\int_a^b{f(x,y)\ud x}\right)\ud y}
    \]

\item
    Sei $Q=\{x=(x_1,x_2,\ldots x_n) \in \Rset^n \prop a_i \leq x_i \leq b_i 
    \forall \: i=1,\ldots n\}$, \\
    $f:Q \to \Rset$ stetig \\
    $\implic$ Die iterierten Integrale exisiteren und es gilt:
    \[
	\int_{Q}{f(x,y)\ud(x,y)} =
	\int_{a_n}^{b_n}{\left(
	    \int_{a_{n-1}}^{b_{n-1}}{\left(
		\dots
		\int_{a_1}^{b_1}{f(x_1,\ldots x_n) \ud x_1}
		\dots
	    \right)\ud x_{n-1}}
	\right)\ud x_n}
    \]
	    

\end{enumerate}
\end{kor}

\begin{bsp}
    \nl
    \begin{eqnarray*}
	Q = \{(x,y) \in \Rset^2 \prop 0\leq x \leq 1, 1 \leq y \leq 2\} \\
	f:\left\{ \begin{array}{l}
	    Q \to \Rset \\
	    (x,y) \mapsto x^y := \left\{ \begin{array}{ll}
		e^{y\ln x} & x \neq 0 \\
		0 & x = 0
	    \end{array} \right.
	\end{array} \right.
    \end{eqnarray*}
    $f$ ist auf $Q$ stetig
    \begin{eqnarray*}
	\int_Q{f(x,y)\ud(x,y)} & = & \int\limits_1^2{\left(\int\limits_0^1{x^y \ud x}\right) \ud y} \\
	& = & \int\limits_1^2{ \left[\frac{x^{y+1}}{y+1}\right]_0^1 \ud y} \\
	& = & \int\limits_1^2{\frac{1}{y+1}\ud y} = \left[\ln(y+1)\right]_1^2 = \ln(\frac{3}{2})
    \end{eqnarray*}

\end{bsp}

\begin{bsp}
    \nl
    \begin{eqnarray*}
    Q=\{(x,y,z) \in \Rset^3 \prop 0 \leq x \leq 2,\; 0 \leq y \leq 1,\; 2 \leq z \leq 4\} \\
    f: \left\{ \begin{array}{l}
	Q \to \Rset \\
	(x,y,z) \mapsto x+y+z
      \end{array} \right. \textrm{ stetig auf } Q
    \end{eqnarray*}

    \begin{eqnarray*}
	\int_Q{f(x,y,z)\ud(x,y,z)} & = & \int_2^4{\left(\int_0^1{\left(\int_0^2{(x+y+z)\ud x}\right)\ud y}\right)\ud z} \\
	& = & \int_2^4{\left(\int_0^1{\left[\frac{x^2}{2}+yx+zx\right]_0^2 \ud y}\right) \ud z} \\	
	& = & \int_2^4{\left(\int_0^1{(2+2y+2z)\ud y}\right)\ud z} \\
	& = & \int_2^4{(3+2z)\ud z} = 18
    \end{eqnarray*}

\end{bsp}

\section*{§2 Das Riemann-Integral auf\\
\hspace*{0.6cm} beschr"ankten Mengen in $\Rset^n$}

\begin{Def}
    \nl
    \begin{enumerate}
    \item
	Sei $M \subset \Rset^n$ beschr"ankte Menge und $f: M \to \Rset$
	beschr"ankte Funktion
	\[ f_M := \left\{\begin{array}{ccl}
	    \Rset^n & \to & \Rset \\
	    x & \mapsto & \left\{\begin{array}{ll}
		f(x) & \textrm{falls } x \in M \\
		0 & \textrm{falls } x \notin M
	    \end{array}\right.
	\end{array}\right.
	\]
	hei"st Erweiterung von $f$ durch $0$.

    \item
	\[ \chara_M: \left\{ \begin{array}{ccl}
	    \Rset^n & \to & \Rset \\
	    x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{lll}
		1 & \textrm{falls} & x \in M \\
		0 & \textrm{falls} & x \notin M \\
	    \end{array} \right.
	\end{array}\right.
	\]
	hei"st charakteristische Funktion von $M$.
    \end{enumerate}

    $M$ beschr"ankt \equival{} $\exists$ Quader $Q \subset \Rset^n$ mit $M \subset Q$.
\end{Def}

\begin{Def}
    $Q(M) := \bigcap\limits_{M\subset Q}{Q} = $ kleinster (abgeschlossener) Quader in $\Rset^n$, der $M$ enth"alt.
\end{Def}

\begin{Def}
    $M \subset \Rset^n$ beschr"ankt, $f: M \to \Rset$ beschr"ankt \\
    \begin{eqnarray*}
	\unterint_M{f(x) \ud x} & := & \unterint_{Q(M)}{f_M(x)\ud x} = \textrm{unteres (Riemann-)Integral} \\
	\oberint_M{f(x)  \ud x} & := & \oberint_ {Q(M)}{f_M(x)\ud x} = \textrm{oberes (Riemann-)Integral}
    \end{eqnarray*}
\end{Def}

{\bf Offenbar gilt:}\\

\begin{enumerate}
    \item
	\[ \oberint_{Q}{f_M(x)\ud x} = \oberint_{Q(M)}{f(x)\ud x} \; \forall \: Q \; \textrm{mit} \; Q \subset Q(M)\]

    \item
	\[ \unterint_{M}{f(x)\ud x} \leq \oberint_{M}{f(x)\ud x} \]

    \item
	\begin{eqnarray*} 
	    \unterint_{M}{f(x)\ud x} + \unterint_{M}{g(x)\ud x} & \leq & \unterint_{M}{(f(x)+g(x))\ud x} \\
	    & \stackrel{(2)}{\leq} & \oberint_M{(f(x)+g(x))\ud x} \leq \oberint_M{f(x)\ud x} + \oberint_M{g(x)\ud x} 
	\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\begin{proof}[Beweis der 1. Ungleichung (von (3))]
    Sei $Q \supset M$ und $P=\{Q_1, \ldots Q_m\}$ Partition von $Q$

    Offenbar ist ${(f+g)}_M = f_M + g_M$

    \[\inf_{Q_k}{(f+g)}_M = \inf_{Q_k}{(f_m+g_m)} \geq \untersum{P}{(f_M+g_M)} \geq \untersum{P}{(f_M)} + \untersum{P}{(g_M)} \]

    Nach Definition des Supremums existiert zu jedem $\varepsilon > 0$ eine Partition $P$ von $Q$, s.d.

    \begin{eqnarray*}
	\unterint_{Q}{f_M(x)\ud x} - \untersum{P}{(f_M)} & \leq & \varepsilon \\
	\textrm{und }\unterint_{Q}{g_M(x)\ud x} - \untersum{P}{(g_M)} & \leq & \varepsilon \\
	\implic \unterint_{Q}{(f_M(x)+g_M(x))\ud x} & \geq & \untersum{P}{(f_M)} + \untersum{P}{(g_M)}
	    \geq \unterint_{Q}{f_M(x)\ud x} + \unterint_{Q}{g_M(x)\ud x} - 2\varepsilon
    \end{eqnarray*}

    Da das $\forall \:\varepsilon > 0$ gilt \implic{} Behauptung

    3. Ungleichung analog.
\end{proof}

\begin{lem}
    \label{ouintegr_mult}
    \nl
    \begin{enumerate}
	\item $\unterint_{M}{c\cdot f(x)\ud x} = c\cdot \unterint_{M}{f(x)\ud x} \; \forall \: c \geq 0$
	\item $\oberint_{M}{c\cdot f(x)\ud x} = c\cdot \oberint_{M}{f(x)\ud x} \; \forall \: c \geq 0$
    \end{enumerate}
\end{lem}

{\it Beweis:} klar

\begin{lem}
    \label{ouintegr_negation}
    \nl
    \begin{enumerate}
	\item $\unterint_M{(-f(x))\ud x} = - \oberint_{M}{f(x)\ud x}$
	\item $\oberint_M{(-f(x))\ud x} = - \unterint_{M}{f(x)\ud x}$
    \end{enumerate}
\end{lem}

\begin{proof}
    \nl
    \begin{itemize}
	\item zu (1):\\
	    gilt: ${(-f)}_M = -f_M$ \\
	    aber $\inf\limits_{Q_k}{(-f_M)} = -\sup\limits_{Q_k}{f_M}$

	    Sei $P$ Partition von $Q(M)$
	    \begin{eqnarray*}
		\implic \untersum{P}(-f_M) & = & \sum_{k=1}^{m}{\inf_{Q_k}{(-f_M(x))\mu(Q_k)}}\\
		& = & - \sum_{k=1}^{m}{\sup_{Q_k}{(f_M)}\mu(Q_k)} = -\obersum{P}(f_M)
	    \end{eqnarray*}

	\item zu (2):
	    \[ \oberint_M{(-f(x))\ud x} \stackrel{(1)}{=} - \unterint_M{(-(-f(x)))\ud x} = -\unterint_M{f(x)\ud x} \]
    \end{itemize}
\end{proof}
	    
\begin{lem}
    \label{ouintegr_vergleich}
    $M \subset \Rset^n$ beschr"ankt $f,g: M \to \Rset$ beschr"ankt \\
    Annahme: $f(x) \leq g(x) \; \forall \: x \in M$
    \begin{enumerate}
	\item $\unterint_M{f(x)\ud x} \leq \unterint_M{g(x)\ud x}$
	\item $\oberint_M{f(x)\ud x} \leq \oberint_M{g(x)\ud x}$
    \end{enumerate}
\end{lem}

\begin{proof}
    f"ur (1) ((2) analog):\\
    Sei $P=\{P_1, \ldots P_m\}$ Partition von $Q(M)$
    \[ \untersum{P}(f_M) = \sum_{i=1}^m{\inf_{x\in Q_i}f(x) \cdot \mu(Q_i)} 
	\leq \sum_{i=1}^m{\inf_{x\in Q_i}g(x) \cdot \mu(Q_i)} = \untersum{P}(g_M) \]
    \[ \implic \unterint_M{f(x)\ud x} = \sup_P{\untersum{P}(f_M)} \leq \sup_P{\untersum{P}(g_M)} = \unterint_M{g(x)\ud x} \]
\end{proof}

\begin{lem}
    \label{outintegr_addition}
    \nl
    Seien $M_1, M_2 \subset \Rset^n$ beschr"ankt mit $M_1 \cap M_2 = \emptyset$\\
    Sei $f: M_1 \cup M_2 \to \Rset$ beschr"ankt
    \begin{eqnarray*}
	\implic \unterint_{M_1}{f\ud x} + \unterint_{M_2}{f\ud x} & \stackrel{(1)}{\leq} & \unterint_{M_1 \cup M_2}{f\ud x} \\
	& \stackrel{(2)}{\leq} & \unterint_{M_1}{f\ud x} + \oberint_{M_2}{f\ud x} \\
	& \stackrel{(3)}{\leq} & \oberint_{M_1\cup M_2}{f\ud x} \stackrel{(4)}{\leq} \oberint_{M_1}{f\ud x} + \oberint_{M_2}{g\ud x}
    \end{eqnarray*}
\end{lem}

\begin{proof}
    \nl
    \begin{eqnarray*}
	\textrm{Sei } f_1:& & \left\{\begin{array}{ccl}
	    \Rset^n & \to & \Rset \\
	    x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{cl}
		f(x) & x \in M_1 \\
		0    & x \notin M_1
	    \end{array}\right.
	\end{array}\right. \\
	f_2:& & \left\{\begin{array}{ccl}
	    \Rset^n & \to & \Rset \\
	    x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{cl}
		f(x) & x \in M_2 \\
		0    & x \notin M_2
	    \end{array}\right.
	\end{array}\right.
    \end{eqnarray*}

    Damit ist $f_{M_1 \cup M_2} = f_1 + f_2$

    \begin{itemize}
	\item zu (1):
	    \begin{eqnarray*}
		& \unterint_{M_1}{f\ud x} + \unterint_{M_2}{f\ud x} = \unterint_{M_1 \cup M_2}{f_1\ud x} + \unterint_{M_1 \cup M_2}{f_2\ud x} & \\
		& \underset{(Bem. 3)}{\leq} \unterint_{M_1 \cup M_2}{(f_1+f_2)\ud x} = \unterint_{M_1 \cup M_2}{f\ud x}
	    \end{eqnarray*}

	\item zu (2):
	    \begin{eqnarray*}
		\unterint_{M_1 \cup M_2}{f\ud x} & = & \unterint_{Q(M_1 \cup M_2)}{f_{M_1 \cup M_2}\ud x} \\
		& = & \unterint_{M_1 \cup M_2}{(f_1+f_2)\ud x} + \unterint_{M_1 \cup M_2}{(-f_2(x))\ud x} - \unterint_{M_1 \cup M_2}{(-f_2(x))\ud x} \\
		& \overset{(Bem. 3)}{\underset{Lemma}{\leq}} & \unterint_{M_1 \cup M_2}{f_1\ud x}
		    + \oberint_{M_1 \cup M_2}{f_2(x)\ud x} = \unterint_{M_1}{f_1\ud x} + \oberint_{M_2}{f_2\ud x}
	    \end{eqnarray*}
	
	\item (3) und (4) analog
    \end{itemize}
\end{proof}

\begin{Def}
    Sei $M \subset \Rset^n$ beschr"ankt und $f:M \to \Rset$ beschr"ankt. \\
    $f$ hei"st (Riemann-)integrierbar auf $M$
    \[ \equival \unterint_M{f\ud x} = \oberint_M{f\ud x} \]
    gilt: Ist $f$ intbar auf $M$, so gilt f"ur jeden Quader $Q \supset M$:
    \[ \int\limits_M{f\ud x} = \int\limits_Q{f_M\ud x} \]
\end{Def}

\begin{satz}[Riemannsches Integrabilit"atskriterium]
 $ $ \\
$f$ auf $M$ intbar \equival{} $\forall \:\varepsilon > 0 \exists$ Partition von $Q(M)$, s.d.
\[ \obersum{P}(f_M) - \untersum{P}(f_M) < \varepsilon \]

\end{satz}

\begin{proof}
    \nl
    $f$ auf $M$ integrierbar \equival{} $f_M$ auf $Q(M)$ intbar \\
    $\stackrel{§1 Lemma 3}{\equival} \forall \:\varepsilon > 0 \exists$ Partition $P$ von $Q(M)$, s.d.
    \[ \obersum{P}(f_M) - \untersum{P}(f_M) < \varepsilon \]
\end{proof}

\begin{pro}
\nl
    Sei $f:M \to \Rset$ integrierbar und $c \in \Rset$ \implic{} $c\cdot f$ integrierbar auf $M$ und es gilt:
    \[ \int_M{c\cdot f(x)\ud x} = c\cdot\int_M{f(x)\ud x} \]
\end{pro}

\begin{proof}
    \nl
    \begin{enumerate}
	\item $c\geq 0$: Behauptung folgt aus Lemma (\ref{ouintegr_mult})

	\item $c < 0$:
	    \[ \unterint_M{(-f)\ud x} = - \oberint_M{f\ud x} = - \unterint_M{f\ud x} = \oberint_M{(-f)\ud x} \]
	    \[ \implic \int_M{-f\ud x} \exists \]
	    \[ \mathrm{(1) } \implic \; \int_M{c\cdot f(x)\ud x} = \int_M{(-|c|)f(x)\ud x} = -|c|\int_M{f(x)\ud x} = c\cdot\int_M{f(x)\ud x} \]
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{pro}
    \nl
    Seien $f$ und $g: M \to \Rset$ integrierbar\\
    \implic{} $f+g: M \to \Rset$ integrierbar und es gilt:
    \[ \int_M{(f+g)\ud x} = \int_M{f\ud x}+\int_M{g\ud x} \]
\end{pro}

\begin{proof}
    \[ \unterint_M{f \ud x} + \unterint_M{g \ud x} \leq \unterint_M{(f+g) \ud x} \leq \oberint_M{(f+g) \ud x}
	\leq \oberint_M{f \ud x} + \oberint_M{g \ud x} \]
\end{proof}

\begin{pro}
    $f,g: M \to \Rset$ integrierbar mit $f \leq g$ \implic{} $\int_M{f\ud x} \leq \int_M{g\ud x}$.
\end{pro}
\begin{proof}
    folgt aus Lemma (\ref{ouintegr_vergleich}).
\end{proof}

\end{document}