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\lhead{10. Januar 2005}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 20}

\setlength{\topmargin}{-2 cm}\setlength{\topskip}{0.5cm}	% between header and text
\setlength{\textheight}{24.5 cm}	% height of main text

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

\newcommand{\df}{d\hspace{0.01cm} f}
\newcommand{\atp}{\big |_p}
\newcommand{\atfp}{\big |_{f(p)}}
\newcommand{\atxp}{\big |_{x(p)}}

\newcounter{Aussage}

% 1 ------Counter 2 --- 3 Verweisname 
\newenvironment{beh}[3][~]{ \bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\refstepcounter{Aussage} \label{Aussage:#3}
{\bf \underline{#1 \arabic{Aussage}}} #2 : \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip}

% 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{sonst}[3][~]{\bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\label{#1:#3}
{\bf \underline{#1}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par}

% 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{bew}{\bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
{\underline{Beweis}} : \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\begin{flushright}\qedsymbol\end{flushright}\end{quote} \par}


\begin{document}
	\flushleft \textsc{Wiederholung:} Sei $M=M^n$ eine dif\/fbare Mannigfaltigkeit, $p\in M$.\\
	$T_pM=\left\{
	\left[\dot{\alpha}(0)\right]\mid\alpha:(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M \hbox{ dif\/fbar, } \alpha(0)=p
	\right\}$\\
\begin{minipage}{6.5cm}
	\begin{center}
	$ $\\
	$f: M \rightarrow N$ dif\/fb. Abb.
	$$
	\df\atp:
	\left\{
	\begin{array}{c c c}
	T_pM &\rightarrow& T_{f(p)}N\\
	\left[\dot{\alpha}(0)\right]&\mapsto&\left[\dot{(f \circ \alpha)}(0)\right]
	\end{array}
	\right.
	$$
	$\setR\,$-VR - Homomorphismus,\\
	\underline{das Dif\/ferential von $f$ in $p$}
	\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4.5 cm}
	\begin{center}
		Bild kommt noch
	\end{center}
\end{minipage}
\begin{sonst}[Def.]{}{}
	Eine $k$-Form auf $M$ ist eine Abb.
	$$
	p:
	\left\{
	\begin{array}{c c l}
	M &\longrightarrow& \bigcup\limits_{p \in M}Alt^k(T_pM)\\
	p&\longmapsto&\varphi\atp=\varphi\atp(v_1,\ldots,v_k)
	\end{array}
	\right.
	$$
\end{sonst}
	Sei $f:M \rightarrow N$ dif\/fbar und $\psi$ eine $k$-Form auf M.
\begin{sonst}[Def.]{}{}
	$(f^\ast\psi)\atp(v_1,\ldots,v_k):=\psi\atfp(\df_p(v_1),\ldots,\df_p(v_k))$\\
	$f^\ast\psi$ ist $k$-Form auf $M$.
\end{sonst}
	Sei $U \subset M$ of\/fen, 
	$x:
	\left\{
	\begin{array}{c c l}
	U &\rightarrow& V\subset\setR^n\\
	p&\mapsto&x(p)=\big(x_1(p),\ldots,x_n(p)\big)
	\end{array}
	\right.
	$ eine dif\/fbare Karte.\\
	$\Rightarrow$ $x_1,\ldots,x_n$ sind die kanonischen Koordinaten von $V\subset\setR^n$ (d.h. 
	$\forall x\in V$ ist $x=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i e_i$)\\ $ $\\
	Auf $V$ hat jede Dif\/ferentialform vom Grad $k$ die Gestalt:
	$$
	\sum\limits_I a_I dx_I = \sum\limits_{1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n}a_{i_1 \ldots i_k}
	(x_1,\ldots,x_n)\; dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_k}
	$$
	mit $a_I=a_{i_1 \ldots i_k}: V \rightarrow \setR^n$ dif\/fbar ($\infty$-oft dif\/fbar)\\ $ $\\
	$x:U\rightarrow V$ ist eine dif\/fbare Abbildung von Mfkt. $\Rightarrow$ 
	$x^\ast(\sum\limits_I a_I dx_I)$ ist eine $k$-Form auf $U$.\\
	$$
	x^\ast\big(\sum\limits_I a_I dx_I\big)_p(v_1,\ldots,v_k):=
	\sum\limits_I a_I(x) dx_I\atxp\big(dx\atp(v_1),\ldots,dx\atp(v_k)\big)
	$$
	Diese $k$-Form wird kurz mit $\sum\limits_I a_I(x) dx_I$ bezeichnet.\\
	(Man identif\/iziert $U$ mit $V$ mittels $x$ in dieser Bezeichnung)\\
	\hrulefill\textsc{ Ende der Wiederholung}
	\newpage
\begin{sonst}[Def.]{}{}
	Eine $k$-Form $\varphi:M\rightarrow \bigcup\limits_{p \in M}Alt^k(T_pM)$ 
	hei"st Dif\/ferentialform vom Grad $k$ oder dif\/ferenzierbare $k$-Form, falls $\exists$ 
	Atlas $\mathcal{A}=\{x^\alpha:U_\alpha\rightarrow V_\alpha \subset \setR^n\}_{\alpha\in I}$, 
	s.d. gilt:
	$$
	\varphi | U_\alpha=\sum\limits_I a_I(x^\alpha) dx_I^\alpha
	$$
	mit dif\/ferenzierbaren $a_I: V_\alpha \rightarrow \setR$ $\forall \alpha$
\end{sonst}
	\underline{z.z.} : Diese Def\/inition ist unabhängig von der Wahl der Karten $x^\alpha$ \\
	$ $\phantom{\underline{z.z.} :} Sei $U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset$, $U:=U_\alpha\cap U_\beta$\\
	$\qquad\qquad\quad x:=x^\alpha | U: U \rightarrow V\:\subset \setR^n \quad V\: =V\,(x_1,\ldots,x_n)$\\
	$\qquad\qquad\quad y:=x^\beta  | U: U \rightarrow V' \subset \setR^n \quad V'  =V\:(y_1,\ldots,y_n)$\\
	$ $\phantom{\underline{z.z.} :} Sei g : $\left\{
	\begin{array}{c c l}
	V &\rightarrow& V'\\
	x&\mapsto&y=g(x)
	\end{array}
	\right.\ \hbox{ der Kartenwechsel }\quad$
	$
	\begin{diagram}
	\node{U}\arrow{s,t}{x}\arrow{se,t}{y}\\
	\node{V}\arrow{e,t}{g}\node{V'}
	\end{diagram}
	$\\ $ $\\
	Da $k$-Formen von 1-Formen erzeugt werden (d.h. jede $k$-Form ist von der Form 
	$\sum\limits_i \alpha_i \varphi_1^i \wedge \ldots \wedge \varphi_k^i$ mit 1-Formen $\varphi_\nu^i$),
	gen"ugt es, die Behauptung für 1-Formen zu zeigen.\\
	\underline{Also gen"ugt z.z.} : Ist $\varphi=x^\ast\big(\sum\limits_{i=1}^{n} a_i(x) dx_i \big)=
	y^\ast\big(\sum\limits_{i=1}^{n} b_i(y) dy_i \big)$ mit $a_i:V\rightarrow\setR$, $b_i:V'\rightarrow\setR$,\\
	$ $\phantom{\underline{Also gen"ugt z.z.} :} so ist $a_i$ genau dann dif\/ferenziebar, wenn $b_i$ 
	dif\/ferenzierbar ist.\\
	 $ $\\
	Da die Situation symmetrisch ist, genügt es zu zeigen: sind $b_i$ dif\/ferenzierbar, so auch $a_i$.\\
	\begin{bew}
	Es gilt $\forall p \in U$, $\forall v \in T_pU=T_pM$:
	$$
	x^\ast\big(\sum\limits_{i=1}^{n} a_i(x) dx_i\big)\atp(v)=\sum\limits_{i=1}^{n} a_i\big(x(p)\big) dx_i\atxp
	\big(dx\atp(v)\big)\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \ 
	$$
	$$
	y^\ast\big(\sum\limits_{j=1}^{n} b_j(y) dy_j\big)\atp=g^\ast\Big(x^\ast\big(\sum\limits_{j=1}^{n} 
	b_j(y) dy_j\big)\Big)=x^\ast\Big(\sum\limits_{j=1}^{n} b_j(g(x)) d\big((g \circ x)_j\big)\Big)=
	$$
	$$
	\stackrel{Kettenregel}{=}x^\ast\Big(\sum\limits_{j=1}^{n} b_j(g(x)) \sum\limits_{i=1}^{n} 
	\partialOpFrac{g_j}{x_i}(x)dx_i\Big)=x^\ast\Big(\sum\limits_{i=1}^{n}\big(\sum\limits_{j=1}^{n} b_j(g(x)) 
	\partialOpFrac{g_j}{x_i}(x)\big)dx_i\Big)
	$$
	$\Rightarrow\ a_i(x)=\sum\limits_{j=1}^{n} b_j(g(x)) \partialOpFrac{g_j}{x_i}(x)$\\
	$b_i$ dif\/fbar, $g$ dif\/fbar $\Rightarrow$ $a_i$ dif\/fbar
	\end{bew}
	\par
	Damit gelten alle Ergebnisse und Begrif\/fe f"ur Dif\/ferentialformen auf $\setR^n$ auch auf dif\/ferenzierbaren 
	Mannigfaltigkeiten (im Folgenden sind $k$-Formen also immer dif\/ferenzierbare $k$-Formen bzw. Dif\/ferentialformen 
	vom Grad $k$).\\ $ $\\
	Im Einzelnen:
\begin{beh}[Proposition]{}{}
	Sei $\omega=k$-Form, $\varphi = l$-Form, $\psi=m$-Form auf $M$
	\begin{itemize}
	\item [(1)] $\omega \wedge ( \varphi + \psi ) = \omega \wedge \varphi + \omega \wedge \psi$, falls $l=m$
	\item [(2)] $\omega \wedge \varphi = (-1)^{kl}\varphi \wedge \omega$
	\item [(3)] $(\omega \wedge \varphi)\wedge \psi = \omega \wedge (\varphi \wedge \psi )$
	\end{itemize}
\end{beh}
\begin{beh}[Proposition]{}{}
	Sei $f: M \rightarrow N$ eine dif\/fbare Abbildung dif\/fbarer Mannigfaltigkeiten, 
	$\ \varphi,\psi = k$-Formen auf $N$, $g = 0\,$-Form auf $N$
	\begin{itemize}
	\item [(1)] $ f^\ast(\varphi + \psi) = f^\ast \varphi + f^\ast \psi$
	\item [(2)] $f^\ast (g\cdot\varphi) = f^\ast g \cdot f^\ast \varphi$
	\item [(3)] Sind $\omega_1, \ldots, \omega_k \ 1$-Formen auf $N$, so ist \\
			$f^\ast(\omega_1 \wedge \ldots \wedge \omega_k) = (f^\ast \omega_1) \wedge \ldots \wedge (f^\ast \omega_k)$
	\end{itemize}
\end{beh}
\begin{beh}[Proposition]{}{}
	Sei $g:P\rightarrow M$ eine dif\/fbare Abbildung dif\/fbarer Mannigfaltigkeiten, \\
	$\varphi,\psi$ Dif\/ferentialformen auf $N$, $\ f:M \rightarrow N$
	\begin{itemize}
	\item [(1)] $ f^\ast(\varphi \wedge \psi) = f^\ast \varphi \wedge f^\ast \psi$
	\item [(2)] $(f\circ g)^\ast \varphi = f^\ast g \cdot f^\ast \varphi$
	\end{itemize}
\end{beh}
	Ist $\varphi$ eine $k$-Form auf $M$ mit $\varphi| U=\sum\limits_I a_I dx_I$, wobei 
	$x:U\rightarrow V \subset \setR^n$ eine Karte ist, \hfill\\
	so ist $d\varphi$ eine $(k+1\!)$-Form mit
	$$
	d\varphi | U = \sum\limits_I da_I \wedge dx_I
	$$
\begin{beh}[Proposition]{(vgl. §14 Proposition 5)}{}
	\begin{itemize}
	\item[(a)] $\varphi_1,\varphi_2$ $k$-Formen auf $M$ $\Rightarrow$ $d(\varphi_1+\varphi_2)=d\varphi_1+d\varphi_2$
	\item[(b)] $\varphi=k$-Form, $\psi=l$-Form $\Rightarrow$ $d(\varphi\wedge\psi)=
	d\varphi\wedge\psi+(-1)^k\varphi\wedge d\psi$
	\item[(c)] $d(d\varphi)=0$
	\item[(d)] $\varphi=k$-Form auf $N$ $\Rightarrow$ $d(f^\ast\varphi)=f^\ast d\varphi$
	\end{itemize}
\end{beh}
\begin{sonst}[Def.]{}{}
	Ein Vektorfeld auf einer dif\/fbaren Mannigfaltigkeit M ist eine Abbildung
	$$
	X:\left\{
	\begin{array}{c c l}
	M&\longrightarrow&\bigcup\limits_{p\in M}T_pM\\
	p&\longmapsto&x(p)\in T_pM
	\end{array}
		\right.
	$$
\end{sonst}
	Sei $\varphi:M\rightarrow\setR$ dif\/fbar (d.h. $\forall\:$Karten $\: x:U\rightarrow V\subset\setR^n\:$ ist 
	$\:\varphi\circ x^{-1}: V\rightarrow \setR$ dif\/fbar).\\
	$v=X(p) \in T_pM \Rightarrow v(\varphi):=(T_p(\varphi))(v)\in\setR=\:$Richtungsableitung 
	von $\varphi$ in Richtung $v$.\\
	$ $\\
	Hierbei ist $T_p\varphi=d\varphi_p:T_pM\rightarrow T_p\setR=\setR$ das Dif\/ferential von $\varphi$ in $p$.\\
	 $ $\\
	Ist $X$ ein Vektorfeld(VF) auf $M$, so ist
	$$
	X_\varphi:
	\left\{
	\begin{array}{c c l}
	M&\rightarrow&\setR\\
	p&\mapsto&X(p)(\varphi)
	\end{array}
		\right.
		\hbox{ eine Funktion.}
	$$
\begin{sonst}[Def.]{}{}
	Ein VF $X$ auf M hei"st dif\/ferenzierbar, wenn für jede dif\/ferenzierbare Funktion $\varphi:M\rightarrow\setR$ 
	die Funktion $X_\varphi$ dif\/ferenzierbar ist. Ist $U\subset M$ eine of\/fene Untermannigfaltigkeit, so ist analog 
	dif\/fbares VF auf $U$ definiert.
\end{sonst}
	Ist $x:U\rightarrow V\subset\setR^n$ eine Karte, so ist $\partialOpFrac{}{x_i}$ ein VF auf $U$ 
	$\forall i=1,\ldots,n$.\\In jedem Punkt $p\in U$ sind $\{\partialOpFrac{}{x_i}\atp\mid i=1,\ldots,n\}$ 
	eine Basis des VR $\:T_pU=T_pM$.\\
	$\Rightarrow$ Jedes VF $X:U\rightarrow\bigcup\limits_{p\in M}T_pM$ lässt sich eindeutig schreiben als
	$$
	\forall p\in U \quad X(p)=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i(p)\partialOpFrac{}{x_i}\Big |_p\quad\alpha_i(p)\in\setR
	$$
	Also: $X=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i\partialOpFrac{}{x_i}$ mit Funktionen $\alpha_i:U\rightarrow\setR$
\begin{beh}[Proposition]{(vgl. §14 Proposition 6)}{}
	"Aquivalent sind f"ur ein VF $X=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\partialOpFrac{}{x_i}$ auf $U\subset M$
	\begin{enumerate}
	\item X dif\/fbar
	\item $a_i$ dif\/fbar $\forall i = 1,\ldots,n$
	\end{enumerate}
\end{beh}
\begin{bew}
	\underline{(1)$\Rightarrow$(2)}: $X$ dif\/fbar $\equival$ f"ur alle dif\/fbaren $\varphi:U\rightarrow\setR$ 
	ist $X_\varphi$ dif\/fbar.\\
	$\:$\phantom{\underline{(1)$\Rightarrow$(2)}:} Nun sind die Koordinatenfunktionen $x_j=x_j(p)$ dif\/fbar.\\
	$\:$\phantom{\underline{(1)$\Rightarrow$(2)}:} $\Rightarrow$ 
	$\big(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\partialOpFrac{}{x_i}\big)(x_j)=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\partialOpFrac{x_j}{x_i}=
	\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\delta_{ij}=a_j$\\ $ $\\
	\underline{(2)$\Rightarrow$(1)}: Sei $\varphi:U\rightarrow \setR$ dif\/fbar.\\
	$\:$\phantom{\underline{(2)$\Rightarrow$(1)}:} \underline{z.z.} $X\varphi$ dif\/fbar.\\
	$\:$\phantom{\underline{(2)$\Rightarrow$(1)}:} $X\varphi=
	\big(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\partialOpFrac{}{x_i}\big)(\varphi)=
	\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\partialOpFrac{\varphi}{x_i}$\\
	$\:$\phantom{\underline{(2)$\Rightarrow$(1)}:} $\varphi$ ($\infty-$oft) dif\/fbar 
	$\Rightarrow\partialOpFrac{\varphi}{x_i}$ dif\/fbar $\Rightarrow 
	\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\partialOpFrac{\varphi}{x_i}$ dif\/fbar $\Rightarrow X\varphi$ dif\/fbar.
\end{bew}
\end{document}