\documentclass[12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{latexsym} \usepackage{ngerman} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb} \usepackage{dsfont} \usepackage{graphicx} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{lange} \usepackage{a4wide} \usepackage{theorem} \usepackage{pb-diagram} \usepackage{mathrsfs} \pagestyle{fancy} \lhead{10. Januar 2005} \chead{} \rhead{\bfseries Vorlesung 20} \setlength{\topmargin}{-2 cm}\setlength{\topskip}{0.5cm} % between header and text \setlength{\textheight}{24.5 cm} % height of main text \renewcommand{\baselinestretch}{1.3} \renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})} \newcommand{\df}{d\hspace{0.01cm} f} \newcommand{\atp}{\big |_p} \newcommand{\atfp}{\big |_{f(p)}} \newcommand{\atxp}{\big |_{x(p)}} \newcounter{Aussage} % 1 ------Counter 2 --- 3 Verweisname \newenvironment{beh}[3][~]{ \bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt \refstepcounter{Aussage} \label{Aussage:#3} {\bf \underline{#1 \arabic{Aussage}}} #2 : \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip} % 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname \newenvironment{sonst}[3][~]{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt \label{#1:#3} {\bf \underline{#1}} #2: \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\end{quote} \medskip \par} % 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname \newenvironment{bew}{\bigskip \par \vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt {\underline{Beweis}} : \begin{quote} \vspace*{-0.25cm}} {\begin{flushright}\qedsymbol\end{flushright}\end{quote} \par} \begin{document} \flushleft \textsc{Wiederholung:} Sei $M=M^n$ eine dif\/fbare Mannigfaltigkeit, $p\in M$.\\ $T_pM=\left\{ \left[\dot{\alpha}(0)\right]\mid\alpha:(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M \hbox{ dif\/fbar, } \alpha(0)=p \right\}$\\ \begin{minipage}{6.5cm} \begin{center} $ $\\ $f: M \rightarrow N$ dif\/fb. Abb. $$ \df\atp: \left\{ \begin{array}{c c c} T_pM &\rightarrow& T_{f(p)}N\\ \left[\dot{\alpha}(0)\right]&\mapsto&\left[\dot{(f \circ \alpha)}(0)\right] \end{array} \right. $$ $\setR\,$-VR - Homomorphismus,\\ \underline{das Dif\/ferential von $f$ in $p$} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}{4.5 cm} \begin{center} Bild kommt noch \end{center} \end{minipage} \begin{sonst}[Def.]{}{} Eine $k$-Form auf $M$ ist eine Abb. $$ p: \left\{ \begin{array}{c c l} M &\longrightarrow& \bigcup\limits_{p \in M}Alt^k(T_pM)\\ p&\longmapsto&\varphi\atp=\varphi\atp(v_1,\ldots,v_k) \end{array} \right. $$ \end{sonst} Sei $f:M \rightarrow N$ dif\/fbar und $\psi$ eine $k$-Form auf M. \begin{sonst}[Def.]{}{} $(f^\ast\psi)\atp(v_1,\ldots,v_k):=\psi\atfp(\df_p(v_1),\ldots,\df_p(v_k))$\\ $f^\ast\psi$ ist $k$-Form auf $M$. \end{sonst} Sei $U \subset M$ of\/fen, $x: \left\{ \begin{array}{c c l} U &\rightarrow& V\subset\setR^n\\ p&\mapsto&x(p)=\big(x_1(p),\ldots,x_n(p)\big) \end{array} \right. $ eine dif\/fbare Karte.\\ $\Rightarrow$ $x_1,\ldots,x_n$ sind die kanonischen Koordinaten von $V\subset\setR^n$ (d.h. $\forall x\in V$ ist $x=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i e_i$)\\ $ $\\ Auf $V$ hat jede Dif\/ferentialform vom Grad $k$ die Gestalt: $$ \sum\limits_I a_I dx_I = \sum\limits_{1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n}a_{i_1 \ldots i_k} (x_1,\ldots,x_n)\; dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_k} $$ mit $a_I=a_{i_1 \ldots i_k}: V \rightarrow \setR^n$ dif\/fbar ($\infty$-oft dif\/fbar)\\ $ $\\ $x:U\rightarrow V$ ist eine dif\/fbare Abbildung von Mfkt. $\Rightarrow$ $x^\ast(\sum\limits_I a_I dx_I)$ ist eine $k$-Form auf $U$.\\ $$ x^\ast\big(\sum\limits_I a_I dx_I\big)_p(v_1,\ldots,v_k):= \sum\limits_I a_I(x) dx_I\atxp\big(dx\atp(v_1),\ldots,dx\atp(v_k)\big) $$ Diese $k$-Form wird kurz mit $\sum\limits_I a_I(x) dx_I$ bezeichnet.\\ (Man identif\/iziert $U$ mit $V$ mittels $x$ in dieser Bezeichnung)\\ \hrulefill\textsc{ Ende der Wiederholung} \newpage \begin{sonst}[Def.]{}{} Eine $k$-Form $\varphi:M\rightarrow \bigcup\limits_{p \in M}Alt^k(T_pM)$ hei"st Dif\/ferentialform vom Grad $k$ oder dif\/ferenzierbare $k$-Form, falls $\exists$ Atlas $\mathcal{A}=\{x^\alpha:U_\alpha\rightarrow V_\alpha \subset \setR^n\}_{\alpha\in I}$, s.d. gilt: $$ \varphi | U_\alpha=\sum\limits_I a_I(x^\alpha) dx_I^\alpha $$ mit dif\/ferenzierbaren $a_I: V_\alpha \rightarrow \setR$ $\forall \alpha$ \end{sonst} \underline{z.z.} : Diese Def\/inition ist unabhängig von der Wahl der Karten $x^\alpha$ \\ $ $\phantom{\underline{z.z.} :} Sei $U_\alpha \cap U_\beta \neq \emptyset$, $U:=U_\alpha\cap U_\beta$\\ $\qquad\qquad\quad x:=x^\alpha | U: U \rightarrow V\:\subset \setR^n \quad V\: =V\,(x_1,\ldots,x_n)$\\ $\qquad\qquad\quad y:=x^\beta | U: U \rightarrow V' \subset \setR^n \quad V' =V\:(y_1,\ldots,y_n)$\\ $ $\phantom{\underline{z.z.} :} Sei g : $\left\{ \begin{array}{c c l} V &\rightarrow& V'\\ x&\mapsto&y=g(x) \end{array} \right.\ \hbox{ der Kartenwechsel }\quad$ $ \begin{diagram} \node{U}\arrow{s,t}{x}\arrow{se,t}{y}\\ \node{V}\arrow{e,t}{g}\node{V'} \end{diagram} $\\ $ $\\ Da $k$-Formen von 1-Formen erzeugt werden (d.h. jede $k$-Form ist von der Form $\sum\limits_i \alpha_i \varphi_1^i \wedge \ldots \wedge \varphi_k^i$ mit 1-Formen $\varphi_\nu^i$), gen"ugt es, die Behauptung für 1-Formen zu zeigen.\\ \underline{Also gen"ugt z.z.} : Ist $\varphi=x^\ast\big(\sum\limits_{i=1}^{n} a_i(x) dx_i \big)= y^\ast\big(\sum\limits_{i=1}^{n} b_i(y) dy_i \big)$ mit $a_i:V\rightarrow\setR$, $b_i:V'\rightarrow\setR$,\\ $ $\phantom{\underline{Also gen"ugt z.z.} :} so ist $a_i$ genau dann dif\/ferenziebar, wenn $b_i$ dif\/ferenzierbar ist.\\ $ $\\ Da die Situation symmetrisch ist, genügt es zu zeigen: sind $b_i$ dif\/ferenzierbar, so auch $a_i$.\\ \begin{bew} Es gilt $\forall p \in U$, $\forall v \in T_pU=T_pM$: $$ x^\ast\big(\sum\limits_{i=1}^{n} a_i(x) dx_i\big)\atp(v)=\sum\limits_{i=1}^{n} a_i\big(x(p)\big) dx_i\atxp \big(dx\atp(v)\big)\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \ $$ $$ y^\ast\big(\sum\limits_{j=1}^{n} b_j(y) dy_j\big)\atp=g^\ast\Big(x^\ast\big(\sum\limits_{j=1}^{n} b_j(y) dy_j\big)\Big)=x^\ast\Big(\sum\limits_{j=1}^{n} b_j(g(x)) d\big((g \circ x)_j\big)\Big)= $$ $$ \stackrel{Kettenregel}{=}x^\ast\Big(\sum\limits_{j=1}^{n} b_j(g(x)) \sum\limits_{i=1}^{n} \partialOpFrac{g_j}{x_i}(x)dx_i\Big)=x^\ast\Big(\sum\limits_{i=1}^{n}\big(\sum\limits_{j=1}^{n} b_j(g(x)) \partialOpFrac{g_j}{x_i}(x)\big)dx_i\Big) $$ $\Rightarrow\ a_i(x)=\sum\limits_{j=1}^{n} b_j(g(x)) \partialOpFrac{g_j}{x_i}(x)$\\ $b_i$ dif\/fbar, $g$ dif\/fbar $\Rightarrow$ $a_i$ dif\/fbar \end{bew} \par Damit gelten alle Ergebnisse und Begrif\/fe f"ur Dif\/ferentialformen auf $\setR^n$ auch auf dif\/ferenzierbaren Mannigfaltigkeiten (im Folgenden sind $k$-Formen also immer dif\/ferenzierbare $k$-Formen bzw. Dif\/ferentialformen vom Grad $k$).\\ $ $\\ Im Einzelnen: \begin{beh}[Proposition]{}{} Sei $\omega=k$-Form, $\varphi = l$-Form, $\psi=m$-Form auf $M$ \begin{itemize} \item [(1)] $\omega \wedge ( \varphi + \psi ) = \omega \wedge \varphi + \omega \wedge \psi$, falls $l=m$ \item [(2)] $\omega \wedge \varphi = (-1)^{kl}\varphi \wedge \omega$ \item [(3)] $(\omega \wedge \varphi)\wedge \psi = \omega \wedge (\varphi \wedge \psi )$ \end{itemize} \end{beh} \begin{beh}[Proposition]{}{} Sei $f: M \rightarrow N$ eine dif\/fbare Abbildung dif\/fbarer Mannigfaltigkeiten, $\ \varphi,\psi = k$-Formen auf $N$, $g = 0\,$-Form auf $N$ \begin{itemize} \item [(1)] $ f^\ast(\varphi + \psi) = f^\ast \varphi + f^\ast \psi$ \item [(2)] $f^\ast (g\cdot\varphi) = f^\ast g \cdot f^\ast \varphi$ \item [(3)] Sind $\omega_1, \ldots, \omega_k \ 1$-Formen auf $N$, so ist \\ $f^\ast(\omega_1 \wedge \ldots \wedge \omega_k) = (f^\ast \omega_1) \wedge \ldots \wedge (f^\ast \omega_k)$ \end{itemize} \end{beh} \begin{beh}[Proposition]{}{} Sei $g:P\rightarrow M$ eine dif\/fbare Abbildung dif\/fbarer Mannigfaltigkeiten, \\ $\varphi,\psi$ Dif\/ferentialformen auf $N$, $\ f:M \rightarrow N$ \begin{itemize} \item [(1)] $ f^\ast(\varphi \wedge \psi) = f^\ast \varphi \wedge f^\ast \psi$ \item [(2)] $(f\circ g)^\ast \varphi = f^\ast g \cdot f^\ast \varphi$ \end{itemize} \end{beh} Ist $\varphi$ eine $k$-Form auf $M$ mit $\varphi| U=\sum\limits_I a_I dx_I$, wobei $x:U\rightarrow V \subset \setR^n$ eine Karte ist, \hfill\\ so ist $d\varphi$ eine $(k+1\!)$-Form mit $$ d\varphi | U = \sum\limits_I da_I \wedge dx_I $$ \begin{beh}[Proposition]{(vgl. §14 Proposition 5)}{} \begin{itemize} \item[(a)] $\varphi_1,\varphi_2$ $k$-Formen auf $M$ $\Rightarrow$ $d(\varphi_1+\varphi_2)=d\varphi_1+d\varphi_2$ \item[(b)] $\varphi=k$-Form, $\psi=l$-Form $\Rightarrow$ $d(\varphi\wedge\psi)= d\varphi\wedge\psi+(-1)^k\varphi\wedge d\psi$ \item[(c)] $d(d\varphi)=0$ \item[(d)] $\varphi=k$-Form auf $N$ $\Rightarrow$ $d(f^\ast\varphi)=f^\ast d\varphi$ \end{itemize} \end{beh} \begin{sonst}[Def.]{}{} Ein Vektorfeld auf einer dif\/fbaren Mannigfaltigkeit M ist eine Abbildung $$ X:\left\{ \begin{array}{c c l} M&\longrightarrow&\bigcup\limits_{p\in M}T_pM\\ p&\longmapsto&x(p)\in T_pM \end{array} \right. $$ \end{sonst} Sei $\varphi:M\rightarrow\setR$ dif\/fbar (d.h. $\forall\:$Karten $\: x:U\rightarrow V\subset\setR^n\:$ ist $\:\varphi\circ x^{-1}: V\rightarrow \setR$ dif\/fbar).\\ $v=X(p) \in T_pM \Rightarrow v(\varphi):=(T_p(\varphi))(v)\in\setR=\:$Richtungsableitung von $\varphi$ in Richtung $v$.\\ $ $\\ Hierbei ist $T_p\varphi=d\varphi_p:T_pM\rightarrow T_p\setR=\setR$ das Dif\/ferential von $\varphi$ in $p$.\\ $ $\\ Ist $X$ ein Vektorfeld(VF) auf $M$, so ist $$ X_\varphi: \left\{ \begin{array}{c c l} M&\rightarrow&\setR\\ p&\mapsto&X(p)(\varphi) \end{array} \right. \hbox{ eine Funktion.} $$ \begin{sonst}[Def.]{}{} Ein VF $X$ auf M hei"st dif\/ferenzierbar, wenn für jede dif\/ferenzierbare Funktion $\varphi:M\rightarrow\setR$ die Funktion $X_\varphi$ dif\/ferenzierbar ist. Ist $U\subset M$ eine of\/fene Untermannigfaltigkeit, so ist analog dif\/fbares VF auf $U$ definiert. \end{sonst} Ist $x:U\rightarrow V\subset\setR^n$ eine Karte, so ist $\partialOpFrac{}{x_i}$ ein VF auf $U$ $\forall i=1,\ldots,n$.\\In jedem Punkt $p\in U$ sind $\{\partialOpFrac{}{x_i}\atp\mid i=1,\ldots,n\}$ eine Basis des VR $\:T_pU=T_pM$.\\ $\Rightarrow$ Jedes VF $X:U\rightarrow\bigcup\limits_{p\in M}T_pM$ lässt sich eindeutig schreiben als $$ \forall p\in U \quad X(p)=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i(p)\partialOpFrac{}{x_i}\Big |_p\quad\alpha_i(p)\in\setR $$ Also: $X=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i\partialOpFrac{}{x_i}$ mit Funktionen $\alpha_i:U\rightarrow\setR$ \begin{beh}[Proposition]{(vgl. §14 Proposition 6)}{} "Aquivalent sind f"ur ein VF $X=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\partialOpFrac{}{x_i}$ auf $U\subset M$ \begin{enumerate} \item X dif\/fbar \item $a_i$ dif\/fbar $\forall i = 1,\ldots,n$ \end{enumerate} \end{beh} \begin{bew} \underline{(1)$\Rightarrow$(2)}: $X$ dif\/fbar $\equival$ f"ur alle dif\/fbaren $\varphi:U\rightarrow\setR$ ist $X_\varphi$ dif\/fbar.\\ $\:$\phantom{\underline{(1)$\Rightarrow$(2)}:} Nun sind die Koordinatenfunktionen $x_j=x_j(p)$ dif\/fbar.\\ $\:$\phantom{\underline{(1)$\Rightarrow$(2)}:} $\Rightarrow$ $\big(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\partialOpFrac{}{x_i}\big)(x_j)=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\partialOpFrac{x_j}{x_i}= \sum\limits_{i=1}^{n}a_i\delta_{ij}=a_j$\\ $ $\\ \underline{(2)$\Rightarrow$(1)}: Sei $\varphi:U\rightarrow \setR$ dif\/fbar.\\ $\:$\phantom{\underline{(2)$\Rightarrow$(1)}:} \underline{z.z.} $X\varphi$ dif\/fbar.\\ $\:$\phantom{\underline{(2)$\Rightarrow$(1)}:} $X\varphi= \big(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\partialOpFrac{}{x_i}\big)(\varphi)= \sum\limits_{i=1}^{n}a_i\partialOpFrac{\varphi}{x_i}$\\ $\:$\phantom{\underline{(2)$\Rightarrow$(1)}:} $\varphi$ ($\infty-$oft) dif\/fbar $\Rightarrow\partialOpFrac{\varphi}{x_i}$ dif\/fbar $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{n}a_i\partialOpFrac{\varphi}{x_i}$ dif\/fbar $\Rightarrow X\varphi$ dif\/fbar. \end{bew} \end{document}