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\lhead{19. Januar 2005}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 23}

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\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

\begin{document}

\section*{§16 Partition der Eins, orientierte Mannigfaltigkeiten}
%\\$ $\phantom{§16 }
\begin{paragraph}{Satz 3:}
F"ur eine dif\/fbare Mfk. $M=M^n$ sind "aquivalent
\begin{enumerate}
\item $M$ ist orientierbar
\item $\exists$ auf $M$ nirgends verschwindende Dif\/ferentialform $\omega$
vom Grad $n$
\end{enumerate}
$\omega$ hei"st Volumenform.
\end{paragraph}\\ $ $\\
\underline{Beweis von 2 $\Rightarrow$ 1}:
Sei $\omega$ Volumenform auf $M$ und 
$x: U \rightarrow V \subset \setR^n$ eine Karte von $M$ 
(%ohne Einschr"ankung 
$\OE$ sei
$U$ zusammenh"angend).\\ $ $\\
Auf $U$ ist $\evalAt{U}{\omega}$ von der Form $a(x) \cdot \diff x_1 \wedge \diff x_2 \wedge \dotsm \wedge \diff x_n$
mit $a \in \mathscr{C}^\infty (U)$ und $a(x(p)) \not= 0$ $\forall p \in U$.
Da $U$ zusammenhängend und $a \not= 0$ auf ganz $U$, ist $a > 0$ oder $a < 0$ auf ganz $U$.
Falls $a < 0$, ersetze $x_1$ durch $-x_1$ (\textRightarrow{} $a > 0$).\\
 $ $\\
Damit haben wir einen Atlas von $M$, s.d. $\forall$ Karten $x^\alpha$ von $U_\alpha\rightarrow V_\alpha$ gilt:
\[ \evalAt{U_\alpha}{\omega_\alpha} = a_\alpha(x^\alpha) \cdot \diff x_1^\alpha \wedge \dotsm \wedge \diff x_n^\alpha \]
mit $a_\alpha > 0$.\\
 $ $\\
\underline{Behauptung}: Dieser Atlas ist orientiert.\\
\underline{Beweis}: Seien $x^\alpha: U_\alpha \rightarrow V_\alpha$,
$x^\beta: U_\beta \rightarrow V_\beta$ zwei Karten dieses Atlas.\\
$g_{\alpha\beta}: x^\alpha (U_\alpha \cap U_\beta) \rightarrow x^\beta (U_\alpha \cap U_\beta)$.
\begin{align*}
\Rightarrow \omega &= a_\alpha \cdot \diff x_1^\alpha \wedge \dotsm \wedge \diff x_n^\alpha \\
&= g_{\alpha\beta}^* (a_\beta \cdot \diff x_1^\beta \wedge \dotsm \wedge \diff x_n^\beta) \\
&= g_{\alpha\beta}^* (a_\beta) \cdot g_{\alpha\beta}^* (\diff x_1^\beta \wedge \dotsm \wedge \diff x_n^\beta) \\
&= a_\beta \circ g_{\alpha\beta}^* \cdot \operatorname{det} (\diff g_{\alpha\beta}) \cdot (\diff x_1^\alpha \wedge \dotsm \wedge \diff x_n^\alpha)
   \quad \text{(Lemma)}
\end{align*}
Also $a_\alpha(x) = a_\beta(g_{\alpha\beta}(x))  \cdot \operatorname{det} (\diff g_{\alpha\beta})$.
Also $\operatorname{det} (\diff g_{\alpha\beta}) > 0$.
\rightQed

\begin{paragraph}{Korollar:}
Eine zusammenh"angende dif\/fbare Mannigfaltigkeit hat keine oder genau zwei Orientierungen.
Def\/iniert die Volumenform $\omega$ eine Orientierung, so def\/iniert $-\omega$ die
andere.\\ $ $\\
\underline{Beweis}:
Ein $\omega$ bestimmt eine eindeutige Orientierung.  Zwei Volumenformen
$\omega_1, \omega_2$ bestimmen genau dann dieselbe Orientierung, wenn $\omega_1
= f \cdot \omega_2$ mit $f: M \rightarrow \setR^+$.\\
% $ $\\
Ist $\omega$ eine feste Volumenform auf $M$, so gilt f"ur alle Dif\/ferentialformen
$\tilde\omega$ vom Grad $n$:
$\tilde\omega = g \cdot \omega$ mit $g: M \rightarrow \setR$ dif\/fbar.
$\tilde\omega$ ist Volumenform auf $M$, wenn $g \not= 0$.
Also folgt aus $\tilde\omega$ VF sofort $g>0$ oder $g<0$ auf ganz $M$.\\
 $ $\\
Im 1. Fall def\/iniert $\tilde\omega$ dieselbe Orientierung wie $\omega$,
im 2. - %def\/iniert $\tilde\omega$ 
dieselbe Orientierung wie $-\omega$.
\rightQed

\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Def\/inition:}
Sei $f: M \rightarrow N$ dif\/fbare Abbildung von dif\/fbaren Mannigfaltigkeiten
mit Volumenformen $\omega_M$ und $\omega_N$.
Angenommen, $\dim M = \dim N = \operatorname{rg}_p f \ \;\forall p \in$$M$.
Dann gilt $f^* \omega_M = \lambda\:\omega_N$ mit $\lambda \in \mathscr C^\infty (M)$,
$\lambda \not=0$ auf ganz $M$.
$f$ hei"st \emph{orientierungstreu} (bzw. \emph{orientierungsumkehrend}), falls
$\lambda > 0$ (bzw. $\lambda < 0$) auf ganz $M$.
\end{paragraph}

\begin{paragraph}{Satz 4:}
Sei $f: \setR^m \rightarrow \setR^n$ eine dif\/fbare Abbildung vom Rang $k = m-n > 0 $.
Sei 0 ein regul"arer Wert von $f$, also $M \isDefinedAs \inverse{f}(0)$ ist dif\/fbare Mannigfaltigkeit
der Dimension $k$.\\
\textRightarrow{} $M$ besitzt eine von $f$ bestimmte Volumenform und damit eine Orientierung.\\ $ $\\
\underline{Bemerkung}: Damit sind alle Nullstellenmengen unabh"angiger Gleichungen orientierbar.\\ $ $\\
\underline{Beispiel}:
Die Kugeloberfl"ache $x_1^2 + \dotsm + x_n^2 = 1$ mit
\[
f:
\left\{
\begin{array}{r c l}
\setR^n&\rightarrow&\setR^1\\
(x_1, \dotsc, x_n)&\mapsto&x_1^2 + x_2^2 + \dotsm + x_n^2 - 1
\end{array}
\right.
\]
ist orientierbar.\\ $ $\\
\underline{Beweis:}
$\setR^m$ besitzt die Volumenform $\diff x = \diff x_1 \wedge \dotsm \wedge \diff x_m$.\\ $ $\\
%$ $\phantom{Beweis:} 
Die Inklusion $M \hookrightarrow \setR^n$ induziert die Inklusion
\[ \tSpc M \hookrightarrow \tSpc \setR^n = \setR^n  \]
und es ist $\tSpc M = \left\{ v \in \setR^n \middle| \scProd{\gradient f_i}{v} = 0 \right\}$.
Auf $M$ ist eine Volumenform $\omega$ def\/iniert:
\[
\omega (v_1, \dotsc, v_k) = \operatorname{det} (\gradient f_1, \dotsc, \gradient f_n, v_1, \dotsc, v_k).
\]
\rightQed
%\end{paragraph}
\end{paragraph}
\vfill
\section*{§17 Integration von Dif\/ferentialformen}

Sei zun"achst $M = \setR^n, U \subset \setR^n$ of\/fen.
Sei $\omega$ eine Dif\/ferentialform auf $U$.

\begin{paragraph}{Def\/inition:}
\begin{align*}
\operatorname{supp} \omega &\isDefinedAs \overline{\left\{ p \in U \middle| \evalAt{p}\omega \not= 0 \right\}}
 = \text{\emph{Tr"ager von $\omega$}.}
\end{align*}
\end{paragraph}
$\!\!$Sei $\omega$ eine $n$-Form auf $U$, also $\omega = a(x) \cdot \diff x_1 \wedge \dotsm \wedge \diff x_n$
mit  $a \in \mathscr{C}^\infty(U)$.

\begin{paragraph}{Def\/inition:}
Angenommen der Tr"ager von $\omega$: $K = \operatorname{supp}\omega$ ist kompakt in $U$:
\[
\int_U \omega \isDefinedAs \int_K a(x_1, \dotsc, x_n) \diff x_1 \dotsm \diff x_n
= \text{"Ubliches Integral auf $\setR^n$}.
\]
\end{paragraph}
$\!\!$Sei $M$ eine beliebig orientierte Mannigfaltigkeit der Dimension $n$, $\omega$ eine $n$-Form.
Setze voraus, dass $K \isDefinedAs \operatorname {supp} \omega$ kompakt ist.

\begin{paragraph}{Erster Fall:}
Es existiert eine Karte $x: U \rightarrow V \subset \setR^n$ mit $K \subseteq U$.\\
Def\/iniere $\int_M \omega \isDefinedAs \int_U \omega \isDefinedAs \int_V a(x) \diff x_1 \dotsm \diff x_n$.\\
 $ $\\
\underline{Behauptung}: Diese Def\/inition h"angt nicht von der Wahl der Karte ab.\\
\underline{Beweis}:
Sei $y: U \rightarrow V' \subset \setR^n $ eine weitere Karte,
etwa $\omega = b(y) \cdot \diff y_1 \wedge \dotsm \wedge \diff y_n$.\\
Zu zeigen: $\int_V a(x) \diff x_1 \dotsm \diff x_n = \int_{V'} b(y) \diff y_1 \dotsm \diff y_n$.
Sei $g = y \circ \inverse x$ der Kartenwechsel.\\
$ $\\
Zusammenhang $a(x) \diff x$, $b(y) \diff y$: $x^*(a(x) \diff x) = \evalAt{U}\omega = y^*(b(y) \diff y)$.
\begin{align*}
\Leftrightarrow   a(x) \diff x &= (\inverse x)^* \circ y* (b(y) \diff y) \\
                               &= g^* (b(y) \diff y) \\
                               &= b(g(x)) \cdot \operatorname{det} (\diff g(x)) \diff x
                                  \quad \text{mit Lemma}
\end{align*}
Es folgt $a(x) = b(g(x)) \cdot \operatorname{det}(\diff g(x))$.\\
Mit der Transformationsformel sieht man:
\[\int_V b(g(x)) \abs{\operatorname{det}(\diff g(x))} \diff x = \int_{V'} b(y) \diff y.\]
Nun ist $M$ orientiert, d.~h. $\operatorname{det}(\diff g(x)) > 0$.
Daraus folgt
\[ \int_M \omega = \int_{V'} b(y) \diff y = \int_V b(g(x)) \operatorname{det}(\diff g(x)) \diff x
                 = \int_V a(x) \diff x.
\]
Es folgt die Behauptung.
\rightQed
%\end{subparagraph}
\end{paragraph}
\begin{paragraph}{Zweiter, allgemeiner Fall:}
Sei $M = M^n$ orientierbare dif\/fbare Mannigfaltigkeit der Dimension $n$,
$\omega$ eine dif\/fbare $n$-Form auf $M$ mit $\operatorname{supp} \omega$ kompakt.
Sei $\mathfrak A = \{ x^\alpha: V_\alpha \leftarrow U_\alpha \} $ dif\/fbarer Atlas von $M$.
Nach §16 Satz 2 existiert eine $\{ U_\alpha | \alpha \in I\}$ untergeordnete Partition der 1,
d.~h. $\varphi_\alpha: M \rightarrow \setR$ mit $\supp \varphi_\alpha \subset U_\alpha$,
$\sum_{\alpha \in I} \varphi_\alpha(x) = 1$ etc.
%
\textRightarrow  \,  $\supp (\varphi_\alpha\omega) \subset U_\alpha \;\forall \alpha$.

\begin{paragraph}{Def\/inition:}
Nach dem ersten Fall ist $\int_M \varphi_\alpha \omega$ def\/iniert.  Def\/iniere nun
\[  \int_M \omega  \isDefinedAs  \sum_{\alpha \in I}  \int_M \varphi_\alpha \omega.  \]
\end{paragraph}
$\!\!$\underline{Behauptung}:\\
\hspace*{0.6 cm}Diese Def\/inition h"angt nicht ab von der Wahl des Atlanten $\mathfrak A$ und der Partition $\varphi_\alpha$.\\
$\!\!$\underline{Beweis}: 
Sei $\mathfrak A'$ ein weiterer Atlas: $\mathfrak A' = \{ y_\beta: U'_\beta \rightarrow V'_\beta \subset \setR\}$
und $\{ \psi_\beta | \beta \in I' \}$ eine dieser "Uberdeckung untergeordnete Partition der Eins.\\
$ $\\
Dann ist  $\left\{ U_\alpha \cap U'_\beta \middle| \alpha \in I, \beta \in I' \right\}$ eine 
"Uberdeckung von $M$ und $\{ \varphi_\alpha \psi_\beta \}$ ist eine dieser "Uberdeckung untergeordnete
Partition der Eins,
denn $\sum_{\alpha, \beta} \varphi_\alpha \psi_\beta (x) = 1$, und damit
\begin{align*}
\sum_{\alpha \in I} \int_M \varphi_\alpha \omega
        &= \sum_{\alpha \in I} \int_M \varphi_\alpha \underbrace{\left( \sum_{\beta \in I'} \psi_\beta \right)}_{=1}
         = \sum_{\alpha, \beta} \int_M \varphi_\alpha, \psi_\beta \omega
      \\&= \sum_{\beta \in I'} \int_M \psi_\beta \underbrace{\left(\sum_{\alpha \in I} \varphi_\alpha \right)}_{=1} \omega
         = \sum_{\beta \in I'} \int_M \psi_\beta \omega
\end{align*}
\underline{Bemerkung 1}:
Sei $M$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit der Dimension $n$ und $\omega$\hfill
irgendeine dif\/fbare $n$-Form. Dann ist $\int\limits_M \omega$ wohldef\/iniert, denn aus 
$M$ kompakt und $\supp \omega$ abgeschlossen in $M$ folgt: $\supp\omega$ ist auch kompakt.\\
$ $\\
\underline{Bemerkung 2}:
Wichtig f"ur die Def\/inition des Integrals war richtige Transformation beim
Koordinatenwechsel. Dieses Transformationsverhalten haben gerade $n$-Formen. Funktionen
$f: M\rightarrow\setR$ lassen sich i.A. nicht integrieren.
\end{paragraph}

\end{document}



