\documentclass[12pt]{article}


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\lhead{25. Oktober 2004}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 3}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}


\newcounter{Satz}
\newcounter{Lemma}
\newcounter{Proposition}
\newcounter{Korollar}

% 1 Art der Aussage/Counter 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{aussage}[3][~]{\bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\refstepcounter{#1} \label{#1:#3}
{\bf \underline{#1 \arabic{#1}}} #2: \begin{quote}} {\end{quote} \medskip \par}

% 1 Art der Aussage 2 Name 3 Verweisname 
\newenvironment{sonst}[3][~]{\bigskip \par 
\vskip0pt plus 30pt \penalty -300 \vskip0pt plus -30pt
\label{#1:#3}
{\bf \underline{#1}} #2: \begin{quote}} {\end{quote} \medskip \par}

\newcommand{\verweis}[2]{#1 \ref{#1:#2}} % 1 Art der Aussage 2 Verweisname   
%\newcommand{\RR}{\mathbbm{R}}
\newcommand{\QQ}{\mathbbm{Q}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbbm{Z}}
\newcommand{\NN}{\mathbbm{N}}

%\vspace*{-3cm}
\begin{document}
\flushleft
\begin{aussage}[Proposition]{}{intuebercup}
   Sei $ M_1 \cap M_2 = \emptyset, M_1, M_2 \subset \mathds{R}^n $ und $ f:M_1 \cup M_2 \rightarrow \mathds{R}$ \\
   Ann.: $f|M_1 $ und $f|M_2 $ integrierbar und es gilt:
   $$\int\limits_{ M_1 \cup M_2 }f(x)dx = \int\limits_{ M_1 }f(x)dx+\int\limits_{ M_2 }f(x)dx$$
   Bew.: folgt aus Lemma (oben).
\end{aussage}
\begin{sonst}[Definition]{}{fplusminus}
   Sei $f:M\rightarrow\mathds{R}$ dann ist
\begin{eqnarray*} f^+ & := & \left\{ \begin{array}{c c c}
	M & \rightarrow & \hspace*{-3.5cm} \mathds{R} \\
	x & \mapsto & \left\{ 
		\begin{array}{l} f(x)  \\ 0   \end{array} 
		\hbox{falls} 
		\begin{array}{l} f(x) \ge 0 \\ f(x) < 0 \end{array} \right .
		\end{array} \right . \\
        f^- & := & \left\{ \begin{array}{c c c}
	M & \rightarrow & \hspace*{-3.5cm} \mathds{R} \\
	x & \mapsto & \left\{ 
		\begin{array}{l} -f(x) \\ 0 \end{array} 
		\hbox{falls}  
		\begin{array}{l} f(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{array} \right.
		\end{array} \right. \\ 
	& \Rightarrow & f = f^+ - f^- \hbox{ und } |f| = f^+ + f^-
\end{eqnarray*}
\end{sonst}
\begin{aussage}[Lemma]{}{fplusminusintbar} 
    Sei $f:M\rightarrow\mathds{R}$ integrierbar $ \Rightarrow f^+$ und $f^-$ integrierbar.
    Bew.: \\
	(1) (f"ur $f^+$) 
	Sei $P={P_1,...,P_m}$ beliebige Partition von $Q(M)$. 
	\begin{eqnarray*}
	\Rightarrow 0 & \le & \overline{S}_P(f^+) - \underline{S}_P =
 	\sum_{i=1}^m(sup_{Q_i}f^+ - inf_{Q_i}f^+)\mu(Q_i) \\
	& \le & \sum_{i=1}^m(sup_{Q_i}f - inf_{Q_i}f)\mu(Q_i)
	= \overline{S}_P(f) - \underline{S}_P(f) \\
	\end{eqnarray*} 
	Riemannsches Integrabilit"atskriterium $\Rightarrow$ Beh. \\
	(2) ($f^-$) $f^- = (-f)^+ \Rightarrow$ Beh.

\end{aussage}
\begin{aussage}[Korollar]{}{betragintbar}
   Sei $f:M \rightarrow \mathds{R}$ integrierbar $\Rightarrow |f|:M \rightarrow \mathds{R}$ integrierbar. \\
   Bew.: $|f| = f^+ - f^-$
\end{aussage}
\begin{aussage}[Korollar]{}{produktintbar}
   Sei $f,g:M \rightarrow \mathds{R}$ integrierbar $\Rightarrow fg:M \rightarrow \mathds{R}$ integrierbar. \\
   Bew.: W"ortlich wie in Analysis I.
\end{aussage}
\section*{$\mathsection3$ Jordan-me"sbare Mengen im $\mathds{R}^n$}

\setcounter{Korollar}{0}
\setcounter{Satz}{0}
\setcounter{Proposition}{0}
\setcounter{Lemma}{0}

Sei $Q=Q(a,b) \subset \mathds{R}^n$ Quader.\\
Es war definiert:\\
$\mu(Q)=\prod_{i=1}^m(b_i-a_i)=\int\limits_Q1dx = \int\limits_{Q'}{\mathcal{X}}_Qdx$ f"ur jeden Quader $Q'$
mit $Q \subset Q'$. \\
\begin{sonst}[Definition]{}{}
Sei $M \subset \mathds{R}$ beliebige beschr"ankte Menge und $\mathcal{X}_M:M \rightarrow \mathds{R}$ integrier auf $M$. Dann
hei"st $M$ (Jordan-)me"sbare Menge und $\mu(M) := \int\limits_M\mathcal{X}_M(x)dx = \int\limits_M1dx$ hei"st das Volumen oder
das Ma"s von $M$.
\end{sonst}
\begin{aussage}[Proposition]{}{}
   Seien $M_1, M_2 \subset \mathds{R}^n$ Jordan-me"sbar mit $M_1 \cap M_2 = \emptyset \Rightarrow M_1 \cup M_2$
   Jordan-me"sbar und es gilt: $\mu(M_1 \cup M_2) = \mu(M_1) + \mu(M_2)$ \\
   Bew.: $\mathcal{X}_{M_1}$ und $\mathcal{X}_{M_2}$ integrierbar auf $M_1$ bzw. $M_2$ $\Rightarrow \mathcal{X}_{M_1}$ und
   $\mathcal{X}_{M_2}$ integrierbar auf $M_1 \cup M_2$ \\
   $\Rightarrow \mathcal{X}_{M_1 \cup M_2} = \mathcal{X}_{M_1}+\mathcal{X}_{M_2}$ ist integrierbar auf $M_1 \cup M_2$ und es
   gilt:
   \begin{eqnarray*}
    \mu(M_1 \cup M_2) = \int\limits_{M_1 \cup M_2}\mathcal{X}_{M_1} + \mathcal{X}_{M_2} dx = \int\limits_{M_1}\mathcal{X}_{M_1}dx +
    \int\limits_{M_2}\mathcal{X}_{M_2}dx = \mu(M_1) + \mu(M_2)
   \end{eqnarray*}
\end{aussage}
\begin{aussage}[Lemma]{}{}
   Seien $M_1, M_2 \subset \mathds{R}^n$ me"sbar mit $M_1 \subset M_2 \Rightarrow M_2 \setminus M_1$ me"sbar und
   es gilt $ \mu(M_2 \setminus M_1) = \mu(M_2) - \mu(M_1)$ \\
   Bew.: Es gilt $M_1 \cap (M_2 \setminus M_1) = \emptyset$ und $M_1 \cup (M_2 \setminus M_1) = M_2$
	 Aus Bemerkung (2) und (3) des Lemmas aus $\mathsection2$ erhalten wir:  
	 \begin{eqnarray*}
	 \sideset{}{_*}\int\limits_{M_2}\mathcal{X}_{M_2} & \le & \sideset{}{_*}\int\limits_{M_1}\mathcal{X}_{M_1} + \sideset{}{^*}\int\limits_{M_1 \setminus M_2}
 \mathcal{X}_{M_2 \setminus M_1}dx \\ & \le & \sideset{}{^*}\int\limits_{M_2}\mathcal{X}_{M_2}dx 
 \end{eqnarray*}
 $$ \Rightarrow \mu(M_2) \le \mu(M_1) + \sideset{}{^*}\int\limits_{M_1 \setminus M_2}\mathcal{X}_{M_2 \setminus M_1}dx
 \le \mu(M_2) $$

    Bei Vertauschung der Mengen liefert dieselbe Ungleichung
    $$ \sideset{}{_*}\int\limits_{M_2}\mathcal{X}_{M_2} \le \sideset{}{_*}\int\limits_{M_1 \setminus M_2}\mathcal{X}_{M_2 \setminus
    M_1}dx + \sideset{}{^*}\int\limits_{M_1}\mathcal{X}_{M_1} \le \sideset{}{^*}\int\limits_{M_2}\mathcal{X}_{M_2}dx $$
    oder
    $$  \mu(M_2) \le \sideset{}{_*}\int\limits_{M_1 \setminus M_2}\mathcal{X}_{M_2 \setminus M_1}dx + \mu(M_1) \le \mu(M_2) $$
    $$ \Rightarrow \sideset{}{_*}\int\limits_{M_1 \setminus M_2}\mathcal{X}_{M_2 \setminus M_1}dx = \sideset{}{^*}\int\limits_{M_1 \setminus
    M_2}\mathcal{X}_{M_2 \setminus M_1}dx $$
    $\Rightarrow M_2 \setminus M_1$ J-me"sbar und es gilt nach Lemma1 $ \mu(M_2) - \mu(M_1) = \mu(M_2 \setminus M_1)$
 \end{aussage}
\begin{sonst}[Definition]{}{}
   $M \subset \mathds{R}^n$ hei"st Jordan-Nullmenge $\Leftrightarrow \begin{array}{l} (1) M = \hbox{ Jordan-me"sbar} \\ 
										(2) \mu(M)=0 \end{array}$
\end{sonst}
\begin{aussage}[Satz]{}{}
    Sei $ M \subset \mathds{R}^n$ beschr"ankt und $M$ ganz enthalten in einer Hyperebene $H_j(c) \Rightarrow \mu(M) = 0$ 
    Hyperebene $H_j(c)=\{(x_1,...,x_n) \in \mathds{R}^n | x_j = c\} c \in \mathds{R}$
    Bew.:\\
    W"ahle Konstante $K > 0$, s.d. $ M \subset Q := \{x \in \mathds{R}^n | |x_i| \le K \forall i = 1,\cdots,n\}$
    \\ $\Rightarrow$ f"ur jedes $ \varepsilon > 0$ ist $M$ enthalten in Quadern $ Q_\varepsilon := \{(x_1, \cdots ,
    x_n\} \in \mathds{R}^n | |x_i| \le K \forall i \neq j, c-\varepsilon \le x_j \le c+\varepsilon\}$
    $$ \Rightarrow \sideset{}{^*}\int\limits_{M}\mathcal{X}_Mdx = \sideset{}{^*}\int\limits_{Q_\varepsilon}\mathcal{X}_Mdx
\le \int\limits_{Q_\varepsilon}\mathcal{X}_{Q_\varepsilon}dx = (2K)^{n-1}2\varepsilon $$
Da $\varepsilon$ beliebig $>0 \Rightarrow $
$$ 0 \le \sideset{}{_*}\int\limits_M\mathcal{X}_Mdx \le \sideset{}{^*}\int\limits_M\mathcal{X}_Mdx \le (2K)^{n-1}2\varepsilon
\Rightarrow$$ Beh.
\end{aussage}
Offenbar: Sei $M$ Nullmenge in $\mathds{R}^n$ und $N \subset M \Rightarrow N=$Nullmenge
\vfill
\begin{sonst}[Definition]{}{}
Sei $M \subset \mathds{R}$
\begin{sonst}[(1)]{}{}
$x \in M$ hei"st innerer Punkt von $M \Leftrightarrow \exists \varepsilon > 0$ s.d. $K_\varepsilon(x) \subset M$\\
$ M_0 :=\{x \in M | x $ \underline{innerer Punkt} von $M\}=$offener Kern von $M$.
\end{sonst}
\begin{sonst}[(2)]{}{}
$x_0 \in \mathds{R}^n$ hei"st \underline{Randpunkt} von $M \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0$ gilt $K_\varepsilon(x_0) \neq \emptyset$
und $K_\varepsilon(x_0) \cap (\mathds{R}^n \setminus M) \neq \emptyset$ \\
$\partial M=\{$Randpunkte von $M\}=$ Rand von $M$
\end{sonst}
\begin{sonst}[(3)]{}{}
$\overline{M} = M_0 \cup \partial M =$abgeschlossene H"ulle von $M$
\end{sonst}
\end{sonst}
\begin{aussage}[Satz]{}{}
Sei $M \subset \mathds{R}^n$ beschr"ankt, dann gilt $M =$J-me"sbar $\Leftrightarrow \partial M =$J-Nullmenge
Bew.:\\
"`$\Leftarrow$"' Sei $\partial M =$Nullmenge dann gilt: $Q(M) \supseteq Q(\partial M)$ \\
$ \forall \varepsilon > 0 \exists$ Partition $P=\{P_1, \cdots, P_M\}$ von $Q(M)$ mit $\overline{S}_P(\mathcal{X}_{\partial M}) \le
\varepsilon$
\begin{eqnarray*}\Rightarrow \sideset{}{^*}\int\limits_M\mathcal{X}_Mdx - \sideset{}{_*}\int\limits_M\mathcal{X}_Mdx & \le &
\overline{S}_P(\mathcal{X}_{M}) - \underline{S}_P(\mathcal{X}_{M}) \\ & = & \sum_{k=1}^{m}\sup_{Q_k}(\mathcal{X}_M)\mu(Q_k) -
\sum_{k=1}^{m}\inf_{Q_k}(\mathcal{X}_M)\mu(Q_k) \\ & = & \sum_{Q_k \cup M \neq \emptyset}\mu(Q_k) - \sum_{Q_k \subset M}\mu(Q_k) 
\\ & \le & \sum_{Q_k \cup M \neq \emptyset}\mu(Q_k) = \overline{S}_P(\mathcal{X}_{\partial M}) < \varepsilon 
\Rightarrow \sideset{}{_*}\int\limits_M\mathcal{X}_Mdx = \sideset{}{^*}\int\limits_M\mathcal{X}_Mdx \end{eqnarray*}
\\
"`$\Rightarrow$"' Sei $M$ me"sbar zu $\varepsilon > 0 \exists$ Partition $P=\{P_1, \cdots, P_M\}$ von $Q(M)$ mit
$\overline{S}_P(\mathcal{X}_M) - \underline{S}_P(\mathcal{X}_M) \le \varepsilon$ \\
$ \partial M = M_1 \cup M_2$ mit 
\begin{eqnarray*} M_1   & := & \{ x \in \partial M | x \notin \bigcup_{Q_k \subset M}Q_k\} \\
		  M_2   & := & \partial M \setminus M_1
\end{eqnarray*}
Die Punkte von $M_2$ liegen auf dem Rand von Quadern von $P$.\\
$\Rightarrow M_2 \subset \bigcup\{$endlich vielen Hyperebenen$\}$\\
Satz 3 $\Rightarrow \mu(M_2) = 0$ ferner:
$$ \sideset{}{^*}\int\limits_{M_1}\mathcal{X}_{M_1}dx \le \overline{S}_P(\mathcal{X}_{M_1}) \le 
\sum_{Q_k \cup M \neq \emptyset}\mu(Q_k) - \sum_{Q_k \subset M}\mu(Q_k) = \overline{S}_P(\mathcal{X}_M) - 
\underline{S}_P(\mathcal{X}_M) \le \varepsilon$$ 
\\
$\partial M = M_1 \cup M_2$ mit $M_1 \cap M_2 = \emptyset$ damit folgt aus Lemma $\mathsection2$
$$ \sideset{}{^*}\int\limits_{\partial M}\mathcal{X}_{\partial M}dx \le 
\sideset{}{^*}\int\limits_{M_1}\mathcal{X}_{\partial M}dx + \sideset{}{^*}\int\limits_{M_2}\mathcal{X}_{\partial M}dx =
\sideset{}{^*}\int\limits_{M}\mathcal{X}_{M_1}dx$$ \\
$$\Rightarrow 0 \le \sideset{}{_*}\int\limits_{\partial M}\mathcal{X}_{\partial M}dx \le
\sideset{}{^*}\int\limits_{\partial M}\mathcal{X}_{\partial M}dx < \varepsilon \Rightarrow \partial M = \hbox{Nullmenge}$$
\end{aussage}
\begin{aussage}[Korollar]{}{}
Sei $M \subset \mathds{R}^n$ Jordan-me"sbar $\Rightarrow M_0$ und $\overline{M}$ J-me"sbar und es gilt:
$$\mu(M)=\mu(M_0)=\mu(\overline{M})$$
Bew.: \\
(1) $\overline{M} = M \cup \partial M = M \cup ( \partial M \setminus M ) \Rightarrow \partial M \setminus M$ ist Nullmenge da $
\partial M \setminus M \subset \partial M$ und \\ Satz 4 $\Rightarrow \overline{M}$ me"sbar und $\mu(\overline{M}) = \mu(M)+\mu(
\partial M \subset M) = \mu(M)$
\\
(2) $M_0 = \overline{M} \subset \partial M \Rightarrow \mu(M_0) = \mu(\overline{M}) - \mu( \partial M) = \mu( \overline{M} )$
\end{aussage}
\begin{aussage}[Satz]{}{}
Seien $M_1, M_2 \subset \mathds{R}^n$ me"sbar $\Rightarrow M_1 \cup M_2, M_1 \cap M_2$ me"sbar und es gilt:
$$\mu(M_1 \cup M_2) = \mu(M_1 \cap M_2) = \mu(M_1) + \mu(M_2) $$
\\ Bew.:
\\ $\partial (M_1 \cap M_2) \subset \partial M_1 \cap \partial M_2 \Rightarrow \partial (M_1 \cap M_2) = $ Nullmenge \\
Aus Satz 4 $\Rightarrow M_1 \cap M_2$ me"sbar \\
$ M_1 \cup M_2 = M_1 \cup ( M_2 \setminus ( M_1 \cap M_2 ) )$ 
\begin{eqnarray*}
\hbox{Nach Lemma 2} & \Rightarrow & M_2 \setminus ( M_1 \cap M_2 ) \hbox{me"sbar} \\
\hbox{Lemma 1} & \Rightarrow & M_1 \cup M_2 \hbox{me"sbar und es gilt:} 
\end{eqnarray*}
$$ \mu(M_1 \cup M_2) \stackrel{=}{L1} \mu(M_1) + \mu(M_2 \setminus ( M_1 \cap M_2 ) ) \stackrel{=}{L2}  \mu(M_1) + \mu(M_2) - \mu(M_1 \cap M_2)$$
\end{aussage}

\begin{sonst}[Definition]{}{}
 Sei $f:M \rightarrow N$ Abbildung, dann hei"st $\Gamma_f:=\{(x,y) \in M \times N | y = f(x) \}$ Graph von $f$.
 \end{sonst}
 \begin{aussage}[Satz]{}{}
 Sei $M \subset \mathds{R}^n$ kompakt und $f:M \rightarrow \mathds{R}^m $ stetig $ \Rightarrow \Gamma_f$ ist Nullmenge in $\mathds{R}^n \times \mathds{R}^m$ 
 \\ Bew.: \\
 $ f= (f_1, \cdots, f_m), f_i:M \rightarrow \mathds{R}$ stetig \\
 $ \Rightarrow f_i$ auf $M$ gleichm"a"sig stetig. \\
 $ \Rightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists \hbox{ Partition }P=\{Q_1, \cdots , Q_l\}$ von $Q(M)$ s.d. $ \forall i=1, \cdots, m$
 gilt $$ |f_i(x')-f_i(x'')| \le \varepsilon \forall x', x'' \in M \cap Q_k \forall k$$
 d.h. $ \Gamma_f \cap (Q_k \times \mathds{R}^m) \subset Q_k \times {\stackrel{\sim}{Q}}_{2\varepsilon}$ \\ 
 mit $Q_k \subset \mathds{R}^n$ und $ Q_k \times {\stackrel{\sim}{Q}}_{2\varepsilon} := \{x \in \mathds{R}^n | |y_i| \le \varepsilon \forall i \}$
$$ \Rightarrow \sideset{}{^*}\int\limits_{\Gamma_f \cap ( Q_k \times \mathds{R}^m )}\mathcal{X}_{\Gamma_f}d(x,y) \le
\mu(Q_k) \mu({\stackrel{\sim}{Q}}_{2\varepsilon}) = \mu(Q_k)(2\varepsilon)^m $$
%\begin{eqnarray*}
$$ \Rightarrow \sideset{}{^*}\int\limits_{\Gamma_f \cap ( Q_k \times \mathds{R}^m )}\mathcal{X}_{\Gamma_f}d(x,y) \le 
\sum_{k=1}^l\int\limits_{\Gamma_f}\mathcal{X}_{\Gamma_f}d(x,y) \le \sum_{k=1}^l\mu(Q_k)(2\varepsilon)^m
\le \mu(Q(M))(2\varepsilon)^m$$
Da $\varepsilon$ beliebig $ \Rightarrow \sideset{}{^*}\int\limits_{\Gamma_f}\mathcal{X}_{\Gamma_f}d(x,y) = 0 $
\end{aussage}
\end{document}