\documentclass[12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{ngerman} \usepackage{amsmath,amsthm,amssymb} \usepackage{dsfont} \usepackage{graphicx} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{a4wide} \pagestyle{fancy} \lhead{27. Oktober 2004} \chead{} \rhead{\bfseries Vorlesung 4} %\textwidth 14.4cm %\textheight 22cm \renewcommand{\baselinestretch}{1.3} %\voffset=-1.5cm \DeclareRobustCommand*{\plusMinus}{\pm} \DeclareRobustCommand*{\minusPlus}{\mp} \DeclareRobustCommand*{\oneHalf}{\frac{1}{2}} \DeclareRobustCommand*{\oneThird}{\frac{1}{3}} \DeclareRobustCommand*{\oneQuarter}{\frac{1}{4}} \DeclareRobustCommand*{\absValue}[1]{\ensuremath{\left\lvert{#1}\right\rvert}} \DeclareRobustCommand*{\abs}[1]{\absValue{#1}} \DeclareRobustCommand*{\norm}[1]{\ensuremath{\lVert#1\rVert}} \DeclareRobustCommand*{\isConst}{=\operatorname{const}} \DeclareRobustCommand*{\isDefinedAs}{:=} \DeclareRobustCommand*{\I}{\ensuremath{\mathrm{i}}} \DeclareRobustCommand*{\E}{\ensuremath{\mathrm{e}}} \DeclareMathOperator{\re}{Re} \DeclareMathOperator{\im}{Im} \DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\rank}{rg} \DeclareMathOperator{\gradient}{grad} \DeclareMathOperator{\diverg}{div} \DeclareRobustCommand*{\setFont}[1]{\ensuremath{\mathds{#1}}} \DeclareRobustCommand*{\setC}{\setFont{C}} \DeclareRobustCommand*{\setR}{\setFont{R}} \DeclareRobustCommand*{\setQ}{\setFont{Q}} \DeclareRobustCommand*{\setZ}{\setFont{Z}} \DeclareRobustCommand*{\setN}{\setFont{N}} \DeclareRobustCommand*{\identity}{\ensuremath{\mathbf{1}}} \DeclareRobustCommand*{\inverse}[1]{\ensuremath{{#1}^{-1}}} \DeclareRobustCommand*{\diff}{\,\mathrm{d}} \DeclareRobustCommand*{\diffOp}[1]{\mathop{\frac{\diff}{\diff{#1}}}} \DeclareRobustCommand*{\diffOpFrac}[2]{\ensuremath{\frac{\diff{#1}}{\diff{#2}}}} \DeclareRobustCommand*{\partialOp}[1]{\mathop{\frac{\partial}{\partial{#1}}}} \DeclareRobustCommand*{\partialOpFrac}[2]{\ensuremath{\mathop{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}}} \DeclareRobustCommand*{\evalAt}[2]{\left.{#2}\right|_{#1}} \DeclareRobustCommand*{\textRightarrow}{\ensuremath{\Rightarrow}} \DeclareRobustCommand*{\toInfinity}{\rightarrow\infty} \DeclareRobustCommand*{\rightQed}{\begin{flushright}\qedsymbol\end{flushright}} %\DeclareRobustCommand*{\setR}{\mathds{R}} %\DeclareRobustCommand*{\text}{\mbox} %\DeclareRobustCommand*{\isDefinedAs}{:=} %\DeclareRobustCommand*{\textRightarrow}{$\Rightarrow$} \parindent=0.0cm \title{Vorlesung 4} \date{Mi., 27.10.2004} \begin{document} \section*{§3 Jordan-messbare Mengen im $\setR^n$ (Fortsetzung)} \subsubsection*{\underline{Beispiel}} \[ \text{$n$-dimensionale Vollkugel: } K_c(0) = \left\{ x \in\setR^n \middle| \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq c \right\} \]\[ \partial K_c(0) = \left\{ x \in \setR^n \middle\vert \sum_{i=1}^n x_i^2 - c = 0 \right\} \] Mit $f: \setR^n \rightarrow \setR ; x \mapsto \sum_{i=1}^n x_i^2 - c$: \[ \Rightarrow \partial K_c(0) = P\left( \Gamma_f \cap \left\{ (x,y)\in \Gamma_f \middle| y = 0 \right\}\right) \] wobei $P: \setR^n \times \setR \rightarrow \setR^n$. Falls der Rand einer Menge Durchschnitt von Graphen ist, so ist die Menge messbar. \subsubsection*{\underline{Prinzip von Cavalieri}} Sei $M \subset \setR^n$ messbar mit $M \subset Q = \{ x \in \setR^n | a_i \leq x_i \leq b_i \forall i \}$. Angenommen, $\forall \xi \in [a_n,b_n]$ sei die Menge \[ M_\xi^{(n)} \isDefinedAs M \cap \{ x \in \setR^n | x_n = \xi \} \] messbar in $\setR^{n-1} = \setR^{n-1}(x_1, \dots, x_n)$. \textRightarrow $\mu(M) = \int_{a_n}^{b_n} \mu(M^{(n)}_\xi) \diff \xi $. \underline{Beweis}: \begin{align} \mu(M) &= \int_{Q(M)} \chi_M(x) \diff x = \int_{a_n}^{b_n} \left( \int_{a_{n-1}}^{b_{n-1}} \dotsm \int_{a_1}^{b_1} \chi_M \diff x_1 \dotsm \diff x_{n-1} \right) \diff x_n \notag\\ &= \int_{a_n}^{b_n} \mu(M_\xi^{(n)})\diff xi \notag \end{align} \rightQed \underline{Beispiel:} Bestimme das Volumen des Kugelsegments $S$ der H"ohe $h$ mit Radius $r$: \includegraphics{kseg} Mit Pythagoras gilt \[ \mu(S_\xi^{(3)}) = \pi \rho^2 = \pi ( R^2 - (R-\xi)^2 )) = \pi (2R\xi - \xi^2) \quad (0\leq\xi\leq h) \] Über Satz von Cavalieri \begin{align*} \mu(S) &= \int_0^h \mu(S_\xi^{(3)}) \diff\xi = \int_0^h \pi (2R\xi - \xi^2) \diff\xi \\ &= \pi \left(Rh^2 - \oneThird h^3\right) \end{align*} Zum Überprüfen: Volumen der Vollkugel $\pi(4 R^3 -\frac 8 3 R^3) = \frac 4 3 R^3 \pi$ \textRightarrow OK. \section*{§4 Mittelwertsätze und Substitutionsregel} \underline{1. MWS}: Sei $M \subset \setR^n$ messbar und $f: M \rightarrow \setR$ int'bar (\textRightarrow $M$ messbar!) Dann $\exists \eta \text{ mit } \inf_M f \leq \eta \leq \sup_M f$, so dass \[ \int_M f(x)\diff x = \eta \cdot \mu(M) \] \underline{Beweis}: Offensichtlich \[ \inf_M f \leq f(x) \leq \sup_M f \quad \forall x \in M \] \[ \inf_M f \cdot \mu(M) \leq \underbrace{\int_M f(x) \diff x }_{\eta \cdot \mu(M)} \leq \sup_M f \cdot \mu(M) \] mit $\eta \in \left[\inf_M f; \sup_M f\right]$.$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qedsymbol$\\ \\%\rightQed \underline{Erweiterter MWS}: Sei $M \subset \setR^n$ beschränkt, $f, g: M \rightarrow \setR$ int'bar; ferner sei $g(x) \geq 0$ $\forall x \in M$. Dann $\exists \eta $ mit $\inf_M f \leq \eta \leq \sup_M f $, so dass gilt: \[ \int_M f(x) g(x) \diff x = \eta \int_M g(x) \diff x \] \underline{Beweis}: \[ \inf_M f \cdot g(x) \leq f(x)\cdot g(x) \leq \sup_M f \cdot g(x) \]\[ \Rightarrow \inf_M f \cdot \int_M g(x) \diff x \leq \int_M f(x) \cdot g(x) \diff x \leq \sup_M f \cdot \int_M g(x) \diff x \] Ist $\int_M g(x) \diff x = 0$, so gilt die Behauptung $\forall\eta$. Ist $\int_M g(x) \diff x > 0$, so setze \[ \eta = \frac{\int_M f(x) \cdot g(x) \diff x}{ \int_M g(x) \diff x } \] \rightQed \underline{Definition}: Sei $\tilde S$ offen in $\setR^n$. Eine bijektive Abbildung \[ g: \tilde S \rightarrow S; (\tilde x_1, \dotsc, \tilde x_n) \mapsto (x_1, \dotsc, x_n) \] heißt \underline{Koordinatentransformation}, falls $g \in \mathcal{C}^1(\tilde S)$ und $\operatorname{det} \left( \diffOpFrac{g}{\tilde x} \right)(x) \not= 0$. \underline{Bemerkung}: Dann folgt sofort $\inverse g \in \mathcal{C}^1(S)$. \underline{Beispiel 1}: Polarkoordinaten $\tilde S = \{ (r, \varphi) | 0 < r < \infty; 0 \leq \varphi \leq 2\pi \}$; $S = \setR^2 \setminus (\setR^+_0; 0)$. \underline{Beh.}: $g: \tilde S \rightarrow S; (r; \varphi) \mapsto (x, y)$ mit $x = r \cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$ ist eine Koordinatentransformation. \underline{Bew.}: $g$ ist bijektiv. $g \in \mathcal C^1$. \[ \operatorname{det}\left(\diffOpFrac{g}{(r, \varphi)}\right) = \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} \cos\varphi, & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi, & r\cos\varphi \end{array}\right) = r > 0 \] \includegraphics{polar3} \underline{Beispiel 1}: Sphärische Polarkoordinaten \begin{align*} x &= s\cos\varphi = r\cos\varphi\cos\theta \\ y &= s\sin\varphi = r\sin\varphi\cos\theta \\ z &= r\sin\theta \\ \tilde S &= \{ (r, \varphi, \theta) \in \setR^3, r>0, 0<\varphi,2\pi, -\frac \pi 2 < \theta < \frac \pi 2 \} \\ S &= \setR^3 \setminus \{ (x, y, z) | x \geq 0, y = 0 \} \end{align*} \underline{Bew.}: $g$ ist bijektiv, $\in \mathcal C^1$. \begin{align*} \operatorname{det} \left(\diffOpFrac{g}{(r, \varphi, \theta)}\right) &= \left|\begin{array}{ccc} \cos\varphi\cos\theta & -r\sin\varphi\cos\theta & -r\cos\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\cos\theta & r\cos\varphi\cos\theta & -r\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\theta & 0 & r\cos\theta \end{array}\right| \\ &= r^2 \cos\theta (\cos^2\varphi\cos^2\theta + \sin^2\varphi\sin^2\theta +\cos^2\varphi\sin^2\theta + \sin^2\varphi\cos^2\theta) \\ &= r^2 \cos\theta > 0 \end{align*} \underline{Substitutionsregel} (= Transformationsformel) Sei $K \subset S \subset \setR^n$, $K$ kompakt, $S$ offen, $f: S \rightarrow \setR$ stetig, $g: \tilde S \rightarrow S$ Koordinatentransformation. \[ \int_K f(x) \diff x = \int_{\inverse g (K)} f(g(\tilde x)) \left| \operatorname{det} \left(\diffOpFrac{g}{\tilde x}\right)\right| \diff \tilde x \] \underline{Beweis}: Keiner. Siehe §7. \underline{Bemerkung}: Man beachte, dass die Funktionaldeterminante im Gegensatz zum eindimensionalen Fall nur im Betrag vorkommt. \underline{Beispiel 1}: Berechne $\int_K \sqrt{x^2+y^2}\diff(x,y)$, wo $K = \{(x,y)|1\leq x^2+y^2 \leq 4 \}$. Um die Unstetigkeit der Kootrafo zum Umgehen, definiere $K_\alpha$ (siehe Bild). $K_\alpha$ kompakt und messbar. \begin{center}\includegraphics{kalpha}\end{center} \begin{align*} \int_{K_\alpha} \sqrt{x^2+y^2} \diff(x,y) &= \int_{\inverse g (K_\alpha)} r \cdot r \diff (r, \varphi) \\ &= \int_\alpha^{2\pi-\alpha}\int_1^2 r^2 \diff r \diff \varphi = \frac 7 3 \cdot 2 \cdot (\pi - \alpha) \end{align*} \[\Rightarrow \int_K \sqrt{x^2+y^2} = \lim_{\alpha\rightarrow 0} \int_{K_\alpha} r \diff(x, y) = \frac{14}3 \pi \] \underline{Beispiel 2}: Volumen des Kugeloktanten $K \isDefinedAs \{(x,y,z)| x\geq 0, y\geq 0, z \geq 0 \}$ $\inverse g (\mathring K) = \{ (r, \varphi, \theta) | 0 < r < 1, 0 < \theta < \frac\pi 2, 0 < \varphi < \frac\pi 2 \}$ % \begin{align*} \mu(K) &= \int_K \diff(x,y,z) = \int_{\inverse g(K)} r^2\cos\theta\diff(r,\varphi,\theta) \\ &= \int_0^1\int_0^{\frac\pi 2}\int_0^{\frac\pi 2} r^2\cos\theta \diff\varphi\diff\theta\diff r \\ &= \frac\pi 2 \int_0^1 r^2 \int_0^{\frac\pi 2} \cos\theta \diff\theta \diff r \\ &= \frac\pi 2 \int_0^1 r^2 \diff r = \frac\pi 6 \end{align*} \end{document}