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\lhead{27. Oktober 2004}
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\rhead{\bfseries Vorlesung 4}
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\title{Vorlesung 4}
\date{Mi., 27.10.2004}
\begin{document}

\section*{§3 Jordan-messbare Mengen im $\setR^n$ (Fortsetzung)}

\subsubsection*{\underline{Beispiel}}
\[
\text{$n$-dimensionale Vollkugel: } K_c(0) = \left\{ x \in\setR^n \middle| \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq  c \right\}
\]\[
\partial K_c(0) = \left\{ x \in \setR^n \middle\vert \sum_{i=1}^n x_i^2 - c = 0 \right\}
\]
Mit $f: \setR^n \rightarrow \setR ; x \mapsto \sum_{i=1}^n x_i^2 -  c$:
\[
\Rightarrow \partial K_c(0) = P\left( \Gamma_f \cap \left\{ (x,y)\in \Gamma_f \middle| y = 0 \right\}\right)
\]
wobei $P: \setR^n \times \setR \rightarrow \setR^n$.
Falls der Rand einer Menge Durchschnitt von Graphen ist, so ist die Menge messbar.

\subsubsection*{\underline{Prinzip von Cavalieri}}

Sei $M \subset \setR^n$ messbar mit $M \subset Q = \{ x \in \setR^n | a_i \leq x_i \leq b_i \forall i \}$.
Angenommen, $\forall \xi \in [a_n,b_n]$ sei die Menge
\[
M_\xi^{(n)} \isDefinedAs M \cap \{ x \in \setR^n | x_n = \xi \}
\]
messbar in $\setR^{n-1} = \setR^{n-1}(x_1, \dots, x_n)$.
\textRightarrow $\mu(M) = \int_{a_n}^{b_n} \mu(M^{(n)}_\xi) \diff \xi $.

\underline{Beweis}:
\begin{align}
\mu(M) &= \int_{Q(M)} \chi_M(x) \diff x = \int_{a_n}^{b_n}
\left( \int_{a_{n-1}}^{b_{n-1}} \dotsm \int_{a_1}^{b_1} \chi_M \diff x_1 \dotsm \diff x_{n-1} \right)
\diff x_n
\notag\\
&= \int_{a_n}^{b_n} \mu(M_\xi^{(n)})\diff xi
\notag
\end{align}
\rightQed

\underline{Beispiel:} Bestimme das Volumen des Kugelsegments $S$ der H"ohe $h$ mit Radius $r$:

\includegraphics{kseg}

Mit Pythagoras gilt
\[
\mu(S_\xi^{(3)}) = \pi \rho^2 = \pi ( R^2 - (R-\xi)^2 )) = \pi (2R\xi - \xi^2) \quad (0\leq\xi\leq h)
\]
Über Satz von Cavalieri
\begin{align*}
\mu(S) &= \int_0^h \mu(S_\xi^{(3)}) \diff\xi  = \int_0^h \pi (2R\xi - \xi^2) \diff\xi
\\
&= \pi \left(Rh^2 - \oneThird h^3\right)
\end{align*}
Zum Überprüfen: Volumen der Vollkugel $\pi(4 R^3 -\frac 8 3 R^3) = \frac 4 3 R^3 \pi$ \textRightarrow  OK.

\section*{§4 Mittelwertsätze und Substitutionsregel}

\underline{1. MWS}: Sei $M \subset \setR^n$ messbar und $f: M \rightarrow \setR$ int'bar (\textRightarrow  $M$ messbar!)
Dann $\exists \eta \text{ mit } \inf_M f \leq \eta \leq \sup_M f$, so dass
\[
\int_M f(x)\diff x = \eta \cdot \mu(M)
\]
\underline{Beweis}: Offensichtlich
\[
\inf_M f \leq f(x) \leq \sup_M f \quad \forall x \in M
\]
\[
\inf_M f \cdot \mu(M) \leq \underbrace{\int_M f(x) \diff x }_{\eta \cdot \mu(M)} \leq \sup_M f \cdot \mu(M)
\]
mit $\eta \in \left[\inf_M f; \sup_M f\right]$.$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \qedsymbol$\\
 \\%\rightQed
\underline{Erweiterter MWS}:
Sei $M \subset \setR^n$ beschränkt, $f, g: M \rightarrow \setR$ int'bar;
ferner sei $g(x) \geq 0$ $\forall x \in M$.
Dann $\exists \eta $ mit $\inf_M f \leq \eta \leq \sup_M f $, so dass gilt:
\[
\int_M f(x) g(x) \diff x = \eta \int_M g(x) \diff x
\]
\underline{Beweis}:
\[
\inf_M f \cdot g(x) \leq f(x)\cdot g(x) \leq \sup_M f \cdot g(x)
\]\[
\Rightarrow \inf_M f \cdot \int_M g(x) \diff x \leq \int_M f(x) \cdot g(x) \diff x
\leq \sup_M f \cdot \int_M g(x) \diff x
\]
Ist $\int_M g(x) \diff x = 0$, so gilt die Behauptung $\forall\eta$.
Ist $\int_M g(x) \diff x > 0$, so setze
\[
\eta = \frac{\int_M f(x) \cdot g(x) \diff x}{ \int_M g(x) \diff x  }
\]
\rightQed

\underline{Definition}:
Sei $\tilde S$ offen in $\setR^n$. Eine bijektive Abbildung
\[
g: \tilde S \rightarrow S; (\tilde x_1, \dotsc, \tilde x_n) \mapsto (x_1, \dotsc, x_n)
\]
heißt \underline{Koordinatentransformation}, falls $g \in \mathcal{C}^1(\tilde S)$ und
$\operatorname{det} \left( \diffOpFrac{g}{\tilde x} \right)(x) \not= 0$.

\underline{Bemerkung}: Dann folgt sofort $\inverse g \in \mathcal{C}^1(S)$.

\underline{Beispiel 1}: Polarkoordinaten

$\tilde S = \{ (r, \varphi) | 0 < r < \infty; 0 \leq \varphi \leq 2\pi \}$;
$S = \setR^2 \setminus (\setR^+_0; 0)$.

\underline{Beh.}: $g: \tilde S \rightarrow S; (r; \varphi) \mapsto (x, y)$
mit $x = r \cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$ ist eine Koordinatentransformation.

\underline{Bew.}: $g$ ist bijektiv. $g \in \mathcal C^1$.
\[
\operatorname{det}\left(\diffOpFrac{g}{(r, \varphi)}\right)
= \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
\cos\varphi, & -r\sin\varphi \\
\sin\varphi, & r\cos\varphi
\end{array}\right) = r > 0
\]

\includegraphics{polar3}
\underline{Beispiel 1}: Sphärische Polarkoordinaten
\begin{align*}
x &= s\cos\varphi = r\cos\varphi\cos\theta
\\
y &= s\sin\varphi = r\sin\varphi\cos\theta
\\
z &= r\sin\theta
\\
\tilde S &= \{ (r, \varphi, \theta) \in \setR^3, r>0, 0<\varphi,2\pi, -\frac \pi 2 < \theta < \frac \pi 2 \}
\\
S &= \setR^3 \setminus \{ (x, y, z) | x \geq 0, y = 0 \}
\end{align*}

\underline{Bew.}: $g$ ist bijektiv, $\in \mathcal C^1$.
\begin{align*}
\operatorname{det} \left(\diffOpFrac{g}{(r, \varphi, \theta)}\right)
&= \left|\begin{array}{ccc}
\cos\varphi\cos\theta & -r\sin\varphi\cos\theta & -r\cos\varphi\sin\theta \\
\sin\varphi\cos\theta & r\cos\varphi\cos\theta  & -r\sin\varphi\sin\theta \\
\sin\theta            & 0                       & r\cos\theta
\end{array}\right|
\\
&= r^2 \cos\theta (\cos^2\varphi\cos^2\theta + \sin^2\varphi\sin^2\theta
+\cos^2\varphi\sin^2\theta + \sin^2\varphi\cos^2\theta)
\\
&= r^2 \cos\theta > 0
\end{align*}

\underline{Substitutionsregel} (= Transformationsformel)

Sei $K \subset S \subset \setR^n$, $K$ kompakt, $S$ offen,
$f: S \rightarrow \setR$ stetig, $g: \tilde S \rightarrow S$ Koordinatentransformation.
\[
\int_K f(x) \diff x
= \int_{\inverse g (K)} f(g(\tilde x)) \left| \operatorname{det} \left(\diffOpFrac{g}{\tilde x}\right)\right|
\diff \tilde x
\]

\underline{Beweis}: Keiner. Siehe §7.

\underline{Bemerkung}: Man beachte, dass die Funktionaldeterminante im Gegensatz zum eindimensionalen
Fall nur im Betrag vorkommt.

\underline{Beispiel 1}: Berechne $\int_K \sqrt{x^2+y^2}\diff(x,y)$, wo
$K = \{(x,y)|1\leq x^2+y^2 \leq 4 \}$. Um die Unstetigkeit der Kootrafo zum Umgehen, definiere $K_\alpha$ (siehe Bild). $K_\alpha$ kompakt und messbar.
\begin{center}\includegraphics{kalpha}\end{center}
\begin{align*}
\int_{K_\alpha} \sqrt{x^2+y^2} \diff(x,y)
&= \int_{\inverse g (K_\alpha)} r \cdot r \diff (r, \varphi)
\\
&= \int_\alpha^{2\pi-\alpha}\int_1^2 r^2 \diff r \diff \varphi = \frac 7 3 \cdot 2 \cdot (\pi - \alpha)
\end{align*}
\[\Rightarrow \int_K \sqrt{x^2+y^2} = \lim_{\alpha\rightarrow 0} \int_{K_\alpha} r \diff(x, y) = \frac{14}3 \pi \]

\underline{Beispiel 2}:
Volumen des Kugeloktanten $K \isDefinedAs \{(x,y,z)| x\geq 0, y\geq 0, z \geq 0 \}$

$\inverse g (\mathring K) = \{ (r, \varphi, \theta) | 0 < r < 1, 0 < \theta < \frac\pi 2, 0 < \varphi < \frac\pi 2 \}$
%
\begin{align*}
\mu(K) &= \int_K \diff(x,y,z) = \int_{\inverse g(K)} r^2\cos\theta\diff(r,\varphi,\theta)
\\
&= \int_0^1\int_0^{\frac\pi 2}\int_0^{\frac\pi 2} r^2\cos\theta \diff\varphi\diff\theta\diff r
\\
&= \frac\pi 2 \int_0^1 r^2 \int_0^{\frac\pi 2} \cos\theta \diff\theta \diff r
\\
&= \frac\pi 2 \int_0^1 r^2 \diff r = \frac\pi 6
\end{align*}


\end{document}

