\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{a4wide}
\pagestyle{fancy}
\lhead{8. November 2004}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 6}
%\textheight 22cm
\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
%\voffset=-1.5cm


\DeclareRobustCommand*{\plusMinus}{\pm}
\DeclareRobustCommand*{\minusPlus}{\mp}
\DeclareRobustCommand*{\oneHalf}{\frac{1}{2}}
\DeclareRobustCommand*{\oneThird}{\frac{1}{3}}
\DeclareRobustCommand*{\oneQuarter}{\frac{1}{4}}
\DeclareRobustCommand*{\absValue}[1]{\ensuremath{\left\lvert{#1}\right\rvert}}
\DeclareRobustCommand*{\abs}[1]{\absValue{#1}}
\DeclareRobustCommand*{\norm}[1]{\ensuremath{\lVert#1\rVert}}
\DeclareRobustCommand*{\isConst}{=\operatorname{const}}
\DeclareRobustCommand*{\isDefinedAs}{:=}
\DeclareRobustCommand*{\I}{\ensuremath{\mathrm{i}}}
\DeclareRobustCommand*{\E}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\DeclareMathOperator{\im}{Im}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\rank}{rg}
\DeclareMathOperator{\gradient}{grad}
\DeclareMathOperator{\diverg}{div}
\DeclareRobustCommand*{\setFont}[1]{\ensuremath{\mathds{#1}}}
\DeclareRobustCommand*{\setC}{\setFont{C}}
\DeclareRobustCommand*{\setR}{\setFont{R}}
\DeclareRobustCommand*{\setQ}{\setFont{Q}}
\DeclareRobustCommand*{\setZ}{\setFont{Z}}
\DeclareRobustCommand*{\setN}{\setFont{N}}
\DeclareRobustCommand*{\identity}{\ensuremath{\mathbf{1}}}
\DeclareRobustCommand*{\inverse}[1]{\ensuremath{{#1}^{-1}}}
\DeclareRobustCommand*{\diff}{\,\mathrm{d}}
\DeclareRobustCommand*{\diffOp}[1]{\mathop{\frac{\diff}{\diff{#1}}}}
\DeclareRobustCommand*{\diffOpFrac}[2]{\ensuremath{\frac{\diff{#1}}{\diff{#2}}}}
\DeclareRobustCommand*{\partialOp}[1]{\mathop{\frac{\partial}{\partial{#1}}}}
\DeclareRobustCommand*{\partialOpFrac}[2]{\ensuremath{\mathop{\frac{\partial{#1}}{\partial{#2}}}}}
\DeclareRobustCommand*{\evalAt}[2]{\left.{#2}\right|_{#1}}
\DeclareRobustCommand*{\textRightarrow}{\ensuremath{\Rightarrow}}
\DeclareRobustCommand*{\toInfinity}{\rightarrow\infty}

\DeclareRobustCommand*{\rightQed}{\begin{flushright}\qedsymbol\end{flushright}}
\DeclareRobustCommand*{\subSec}[1]{\subsubsection*{\underline{#1}}}
\parindent=0.0cm

\title{Vorlesung 6}
\date{Mo., 08.11.2004}
\begin{document}

\section*{§5 Flächen im $\setR^3$ (Fortsetzung)}

\subsection*{Oberflächenintegrale}

\subSec{Motivation der Definition}

Sei $Q = Q((a_1, b_1), (a_2, b_2)) \subseteq \setR^2$ Rechteck,

$f: Q \rightarrow F \subseteq \setR^3$ parametrisierte Fläche,

$P = \{ Q_{ij}, i = 1\dotsc m, j = 1\dotsc n\}$ Partition von $Q$.

Ersetze das Bild $F_{kl}$ des Quaders $Q_{ij}$ durch ein Flächenstück der Tangentialebene
(Parallelogramm) $T_{kl}$ an $f(u_k, v_l)$:  Das Parallelogramm $T_{kl}$
wird aufgespannt von den Vektoren
\begin{align*}
f_u(u_{k-1}, v_{l-1}) & \cdot (u_k - u_{k-1}) \\
f_v(u_{k-1}, v_{l-1}) & \cdot (v_k - v_{k-1})
\end{align*}
Es gilt \begin{align*}
\operatorname{vol} T_{kl} & = \norm{ f_u(\dotsc) \cdot (u_k - u_{k-1})
                              \times f_v(\dotsc) \cdot (v_k - v_{k-1})}
                          \\
                          & = (u_k - u_{k-1}) \cdot (v_k - v_{k-1})
                              \cdot \norm{f_u(\dotsc) \times f_v(\dotsc)}
\end{align*}

\textRightarrow Annäherung an die Oberfläche ist die \textsc{Riemann}sche Summe
\[
\sum_{k, l} \norm{ f_u(u_{k-1}, v_{l-1}) \times f_v(u_{k-1}, v_{l-1}) }
           \cdot (u_k - u_{k-1}) \cdot (v_k - v_{k-1})
\]
Läuft die Feinheit der Partition gegen 0, so geht diese Summe über in das Integral
\[
\int_Q \norm{ f_u(u, v) \times f_v(u, v) } \diff(u, v).
\]

\subSec{Definition des Oberflächenintegrals}

\underline{Definition}:
Sei $f: M \rightarrow F \subseteq \setR^3$ parametrisierte Fläche im $\setR^3$.
Dann heißt
\[
\int_F \diff\sigma = \int_M \norm{ f_u(u, v) \times f_v(u, v) } \diff(u, v)
\]
\underline{Flächeninhalt von $F$ bezüglich der Parametrisierung $f$}.

\underline{Beispiel}:
$f(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))^t$ mit $x=u$, $y=v$, $z=2-u^2-v^2$;\\
$M = \{ (u, v) \in \setR^2 \vert 0 \leq u^2 + v^2 \leq z \}$.
($F = \operatorname{Im} f$ ist eine Paraboloidhälfte.)
\begin{align*}
f_u & = (1, 0, -2u)^t \\
f_v & = (0, 1, -2v)^t \\
f_u \times f_v & = (2u, 2v, 1)^t \\
\Rightarrow \norm{f_u \times f_v} & = \sqrt{1+4u^2+4v^2}
\end{align*}
Somit ist die Oberfläche
\[
\int_F \diff\sigma  = \int_M \sqrt{1+4u^2+4v^2} \diff(u, v)
\]
Mit Polarkoordinaten $u = r\sin\varphi$ und $v = r\sin\varphi$:
\begin{align*}
\int_F \diff\sigma & = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} \sqrt{1+4r^2} r \diff r \diff \varphi
\\
& = 4\pi \int_0^{\sqrt 2} \sqrt{\oneQuarter + r^2} r \diff r
\\
& = 4\pi \left[ \oneThird \left(\oneQuarter +r^2\right)^{\frac 3 2} \right]^{\sqrt 2}_{r=0}
\\
& = \frac 4 3 \pi \left[ \left(\frac 9 4 \right)^{\frac 3 2} - \left( \frac 1 4 \right)^{\frac 3 2} \right]
\\
& = \frac 4 3 \pi \cdot \frac{26}{8} = \frac{26}6 \pi
\end{align*}

\underline{Definition}: Allgemein definiert man: Sei $f: M\rightarrow F \subseteq \setR^3$ parametrisierte Fläche
und $g: F \rightarrow \setR$ stetig, so heißt
\[
\int_F g \diff\sigma = \int_M g(f(u, v)) \cdot \norm{f_u(u, v)\times f_v(u, v)} \diff(u, v)
\]
\underline{Oberflächenintegral von $g$ über $F$} (bzgl. Parametrisierung $f$).

\underline{Beispiel}: Sei $f: M \rightarrow F \subseteq \setR^3$ wie in obigem Beispiel
und $g: F \rightarrow \setR$; $g: (x, y, z) \mapsto x^2+y^2$:
\begin{align*}
\int_F g \diff\sigma
& = \int_M (u^2 + v^2) \sqrt{1+4u^2+4v^2} \diff(u, v)
\\
& = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt 2} \sqrt{1+4r^2} r^3 \diff r \diff\varphi 
\end{align*}
Substituiert man $\rho := \sqrt{1+4r^2} \Leftrightarrow \rho\diff\rho = 4r\diff r$,
so erhält man mit $r^2 = \oneQuarter (\rho^2 - 1)$ die Identität
$r^3 \diff r = \frac{1}{16}\rho(\rho^2-1)$, d.~h.
\begin{align*}
\int_F g \diff\sigma
& = \frac{\pi}{8} \int_1^3 \rho^3-\rho \diff\rho
\\
& = \frac{\pi}{8} \left[ \frac{\rho^4}{4} - \frac{\rho^2}{2} \right]^3_{\rho=1} = 2\pi.
\end{align*}

\section*{§6 Integralsätze für das \textsc{Riemann}-Integral}

Für $x \in\setR^n$  und $1 \leq \nu \leq n$ vereinbaren wie die Schreibweise
\[
x^\nu := (x_1, \dotsc, x_{\nu-1}, x_{\nu+1}, \dotsc, x_n)^t \in \setR^{n-1}
\]

\underline{Definition}: (1) Eine \textsc{Jordan}-messbare Menge $M \subseteq \setR^n$ heißt
projezierbar in Richtung der $x_\nu$-Achse, wenn es im $(n-1)$-dimensionalen
$x^\nu$-Raum eine messbare Menge $M_\nu$ gibt, und stetig diffbare Funktionen
$\varphi, \psi: M_\nu \rightarrow \setR$ existieren, so dass gilt:
\[
\overline{M} = \bigcup_{x^\nu \in M_\nu}
	\left\{ (x_1, \dotsc, x_n) \in \setR^n \middle\vert \varphi(x^\nu) \leq x_\nu \leq \psi(x^\nu) \right\}
\]

(2) $M \subseteq \setR^n$ heißt Standardbereich g.~d.~w. $M$ projezierbar in Richtung der $x_\nu$-Achse
für alle $\nu$.

\underline{Beispiele}:

\begin{center}
\includegraphics[angle=-90,scale=1.5]{beispiele}
\vskip0.5cm
Links: projezierbar in $x$-Richtung, rechts: projezierbar in $y$-Richtung
\end{center}

\underline{Satz 1}:
Sei $M \subseteq \setR^n$ projezierbar in Richtung der $x_\nu$-Achse
und $f: M \rightarrow \setR$ intbar.
Angenommen $\forall x^\nu \in M_\nu$ $\exists \int^{\psi(x_\nu)}_{\varphi(x_\nu)} f(x) \diff x_\nu$,
dann gilt
\[
\int_{M} f(x) \diff x = \int_{M_\nu} \left( \int^{\psi(x_\nu)}_{\varphi(x_\nu)} f(x) \diff x_\nu \right) \diff x^\nu
\]

\underline{Beweis} (nur für $n=2$, allgemeiner Fall genauso):
Annahmen: $M \subseteq \setR^2$ projezierbar in Richtung der $x$-Achse; $f: M \rightarrow \setR$
intbar. Existenz von $\int_{\varphi(y)}^{\psi(y)} f(x, y) \diff y$ für alle $y \in M_x$.
\[
\int_M f(x) \diff x = \int_{M_x} \left( \int_{\varphi(y)}^{\psi(y)} f(x, y) \diff x \right) \diff y
\]
\rightQed

\underline{Integralsatz von \textsc{Green}}: Sei $M \subset \setR^2$ offene Menge,
die sich in endlich viele Standardbereiche zerlegen lässt,
$V = (V_1, V_2)$ ein stetig diffbares Vektorfeld auf einer Umgebung von $\overline M$.
Dann gilt
\[
\int_M \left( \partialOpFrac{V_1}{y} - \partialOpFrac{V_2}{x} \right) \diff(x, y)
%
= -\int_{\partial M} V_1 \diff x + V_2 \diff y
\]
Hierbei soll der Rand so durchlaufen werden, dass das Innere immer zur linken Seite liegt.

\begin{center}
\includegraphics[angle=-90,scale=1.5]{green}
\end{center}

\underline{Beweis}: Es genügt, den Satz für einen Standardbereich zu zeigen:
OE $M$ Standardbereich.
Wähle folgende explizite Parameterdarstellung $[0; 4] \rightarrow \setR^2$,
$t \mapsto (x(t), y(t))$ des Randes $\partial M$:
\begin{align*}
x(t)
& = \begin{cases}
a+t(b-a)    & \text{für } 0 \leq t < 1 \\
b           & \text{für } 1 \leq t < 2 \\
b-(t-2)(b-a)& \text{für } 2 \leq t < 3 \\
a           & \text{für } 3 \leq t \leq 4
\end{cases}
\\
y(t)
& = \begin{cases}
\varphi(a+t(b-a))                        & \text{für } 0 \leq t < 1 \\
\varphi(b)+(t-1)(\psi(b)-\varphi(b))     & \text{für } 1 \leq t < 2 \\
\psi(b-(t-2)(b-a))                       & \text{für } 2 \leq t < 3 \\
\psi(a)-(t-3)(\psi(a)-\varphi(a))        & \text{für } 3 \leq t \leq 4
\end{cases}
\end{align*}
Dann gilt mit Satz 1:
\begin{align*}
\int_M \partialOpFrac{V_1}{y} \diff(x, y)
%
& = \int_a^b \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} \partialOpFrac{V_1}{y} \diff y \diff x
\\
& = \int_a^b \big[ V_1(x, \psi(x)) - V_1(x, \varphi(x)) \big] \diff x
\\
& = -\int_a^b V_1(x, \psi(x)) \diff x - \int_b^a V_1(x, \varphi(x)) \diff x
\\
& = -\int_2^3 V_1(x(t), y(t)) \cdot x'(t) \diff t - \int_0^1 V_1(x(t), y(t)) \cdot x'(t) \diff t
%
\intertext{und da $x'(t) \equiv 0$ auf $(1; 2)\cup(3; 4)$}
%
& = -\int_0^4 V_1(x(t), y(t)) \cdot x'(t) \diff t
\\
& = -\int_{\partial S} V_1(x, y) \diff(x, y)
\end{align*}
Analog lässt sich zeigen:
\[
\int_M \partialOpFrac{V_2}{x} \diff(x, y) = \int_{\partial S} V_2 \diff x
\]
Der Satz folgt durch Subtraktion der beiden Gleichungen.

\end{document}