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\lhead{15. November 2004}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 8}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

\begin{document}
\subsubsection*{\underline{Satz 2}}
	$\step$ Sei $D\subset\setR^3$ offen konvex, $v:\:D\rightarrow{\setR^3}$ 2-mal stetig dif\/fbar\\
	$\step$ Äquivalent sind:
	\nl
\begin{enumerate}
	\item $v$ besitzt ein Potential
	\item $\rot{v}=0$
\end{enumerate}
\textbf{\underline{Def.}}: $v$ besitzt ein Potential $\equival$ $\exists\; \varphi:D\rightarrow\setR$ 
	mit $\gradient{\varphi}=v$\\
\underline{Beweis}:\\
	$\step$ $(1)\implic(2)$: vgl. ÜA 20.a)\\
	$\step$ $(2)\implic(1)$: Sei $\rot{v}=0$ auf D\\
	$\step$ $\step$$\step$Sei $P_0=(x_0,y_o,z_0)\in\mathrm{D}$ fest\\
	$\step$ \textbf{\underline{Def.}}: $\varphi(P)\isDefinedAs\int\limits_{\overline{P_{0}P}}(v_1dx+v_2dy+v_3dz)$,
	$\overline{P_{0}P}$ - Strecke von $P_0$ nach $P$\\
	$\step$ \underline{z.z.}: $\gradient\varphi\stackrel{\exists}{=}v$\\
	$\step$ Behauptung: Für $\mathrm{P},\tilde{\mathrm{P}}\in\mathrm{D}$ gilt:
	\[
	\int\limits_{\overline{P\tilde{P}}}(v_1dx+v_2dy+v_3dz)=
	\varphi(\tilde{\mathrm{P}})-\varphi(\mathrm{P})
	\]
\begin{minipage}{6cm}
	\includegraphics{bild_first}%Bild1
\end{minipage}
	\hspace{2cm}
\begin{minipage}{7cm}
	Satz von Stokes:
	$0=\int\limits_{F}\rot{v}\:Nd\sigma= (\int\limits_{\overline{P_{0}P}}+
	\int\limits_{\overline{P\tilde{P}}}+\int\limits_{\overline{\tilde{P}P_0}})
	(v_1dx+v_2dy+v_3dz)=\varphi(P)+
	\int\limits_{\overline{P\tilde{P}}}(v_1dx+v_2dy+v_3dz)-\varphi(\tilde{P})\implic$ Beh.
\end{minipage}\\
	$\step$ Wähle $\tilde{P}=(x+h,y,z)$, $P=(x,y,z)$.\\
	$\step$ $\frac{1}{h}\left(\varphi(x+h,y,z)-\varphi(x,y,z)\right)\stackrel{Beh.}{=}
	\frac{1}{h}\int\limits_{\overline{P\tilde{P}}}(v_1dx+v_2dy+v_3dz)=\frac{1}{h}
	\int\limits^h_{0}v_1(x+t,y,z)dt=$\\
	$\step$ $v_1(x+\theta{h},y,z)$, $0\leq\theta\leq{1}$
	nach MWS der Integralrechnung (An. I)\\ $ $ \\
	%\newpage
	\[
	\partialOpFrac{\varphi}{x}(x,y,z)=\lim\limits_{h\rightarrow{0}}\frac{\varphi(x+h,y,z)-\varphi(x,y,z)}{h}=
	\lim\limits_{h\rightarrow{0}}v_1(x+\theta{h},y,z)=v_1(x,y,z)
	\]
	$\step$ Analog: $\partialOpFrac{\varphi}{y}=v_2$; $\partialOpFrac{\varphi}{z}=v_3$\hspace{9cm}\qedsymbol
\section*{§7 Beweis der Substitutionsregel}
	$\step$ (vgl. Forster III)\\
	$\step$ Sei $U\subset\setR^n$ offen. Für $f:U\rightarrow\setR$
	\[
	supp(f):=\overline{\left\{x\in{U}\mid{f}(x)\neq{0}\right\}}\ \ Tr"ager\:von\:f
	\]
	\[
	\Comp_{C}(U):=\left\{f:U\rightarrow\setR\:{stetig}\mid{supp\left(f\right)}\:kompakt\:in\:U\right\}
	\]
\underline{Beispiel}: $U=\mathds{E}$ (offener Einheitskreis), $f\equiv{1}\Rightarrow{supp}(f)=\mathds{E}$\\
	$\step\ \ \ \;$ Also $f\equiv{1}$ nicht in $\Comp_C(\mathds{E})$, aber $f_{\mathds{E}}\in\Comp_C(\setR^n)$
\subsection*{Substitutionsregel}
	$\step$ Seien $U,V\subset\setR^n$ offen, $\varphi:U\rightarrow{V}$ Koordinatentransformation $f\in\Comp_C(U)$
	\[
	\Rightarrow\int\limits_{U}f(\varphi(x))\cdot\left|\det\diffOpFrac{\varphi(x)}{x}\right|dx=\int\limits_{V}f(y)dy
	\]
	\underline{Spezialfälle}:\\
	\textbf{I}. n=1: $f\in\Comp_C(V)$\\
	$\step$ Annahme: $supp\left(f\right)=\left[a,b\right]\subset{V}$\\
	$\step$ $\varphi:\:U\rightarrow{V}$ Koordinatentransformation.\\
	$\step$ Sei $\alpha=\varphi^{-1}(a)$, $\beta=\varphi^{-1}(b)$.\\
	$\step$ 2 Fälle: 
\begin{itemize}
	\item[(i)] $\alpha<\beta\equival\varphi^{-1}\left(\left[a,b\right]\right)=
						\left[\alpha,\beta\right]=\varphi'>0$
	\item[(ii)] $\alpha>\beta\equival\varphi^{-1}\left(\left[a,b\right]\right)=
						\left[\beta,\alpha\right]=\varphi'<0$ ($\diffOpFrac{\varphi}{x}(x)=\varphi'{(x)}\in\setR$)
\end{itemize}
	$\step$ \underline{Also}: 
	\[
	\int\limits_{a}^{b}f(y)dy=
	\int\limits_{V}f(y)dy=
	\int\limits_{U}f(\varphi(x))\cdot\left|\varphi'(x)\right|dx=
	\left\{\begin{array}{l}
	\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(x))\left|\varphi'(x)\right|dx\ \hbox{ im Fall (i) }\\
	\int\limits_{\beta}^{\alpha}f(\varphi(x))\left|\varphi'(x)\right|dx\ \hbox{ im Fall (ii) }
	\end{array}
	\right.
	\]
	$\step$ \underline{Alte Substitutionsregel}:\\
	$\step$ $f:I=V\rightarrow\setR$ stetig, $\varphi:\left[c,d\right]\rightarrow\setR$ stetig dif\/fbar, bijektiv mit
	$\varphi(\left[c,d\right])\subset{I}$
	\[
	\Rightarrow\int\limits_{c}^{d}f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int\limits_{\varphi(c)}^{\varphi(d)}f(y)dy
	\]
	$\step$ Im Fall (i) stimmen beide Formeln überein. Im Fall (ii) aber auch, denn:
	\[
	\int\limits_{\beta}^{\alpha}f(\varphi(x))\left|\varphi'(x)\right|dx=
	-\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(x))\left(-\varphi'(x)\right)dx=
	\int\limits_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(x))\varphi'(x)dx
	\]
	\textbf{II}. $\varphi(x)=Ax$ mit $A=(a_{ij})\in{GL_n}(\setR)$\\
	$\step$ $\varphi:\setR^n\rightarrow\setR^n$ ist Koordinatentransformation, denn $\varphi^{-1}(x)=A^{-1}x$\\
	$\step$ $\varphi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)^{t}$ mit 
	$\varphi_\nu{\left(x\right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{\nu{i}}x_i
	\Rightarrow\partialOpFrac{\varphi_\nu}{x_\mu}\left(x\right)=a_{\nu\mu}$
	\[
	\Rightarrow\diffOpFrac{\varphi}{x}\left(x\right)=\left(\partialOpFrac{\varphi_{\nu}}{x_{\mu}}\left(x\right)\right)=A
	\]
	$\step$ \underline{Substitutionsregel für lin. Abbildungen}: $f\in\Comp_C\left(\setR^n\right)$, $A\in{GL_n(\setR)}$\\
	\[
	\Rightarrow\int\limits_{\setR^n}f(Ax)\left|\det{A}\right|dx=\int\limits_{\setR^n}f(y)dy
	\]
	$\step$ $\step$ Beweis: vgl. ÜA.\\ $ $ \\
\textbf{\underline{Vorbereitungen}}: Versehe $\setR^n$ mit Maximumsnorm
	\[
	\left|x\right|:=\max\limits_{\nu=1}^{n}\left|x_{\nu}\right|\hbox{ für }x=\left(x_1,\ldots,x_n\right)
	\]
	 $\;\step$ $\step$ $\step$ Euklidische Norm:
	\[
	\left|\left|x\right|\right|=\sqrt{\sum\limits_{\nu=1}^{n}x_{\nu}^2}
	\]
	$\step$ Für $a\in\setR^n$, $\varepsilon{>}0$ sei\\
	$\step$ $W_{\varepsilon}\left(a\right):=\left\{x\in\setR^n\mid\left|x-a\right|\leq\varepsilon\right\}=$ 
	abg. Würfel um $a$ mit Seitelänge $2\varepsilon$\\
	$\step$ Für $f\in\Comp_C\left(U\right)$ bezeichne mit $f\in\Comp_C\left(\setR^n\right)$ 
	auch die mit 0 fortgesetzte Funktion\\ $ $ \\
	$\step$ Sei $L:=supp\left(f\right)\subset{V}$ kompakt und $d\left(\partial{V},L\right)>0$\\
	$\step$ $\Rightarrow{K}:=\varphi^{-1}(L)\subset{U}$ kompakt und $d\left(\partial{U},K\right)>0$\\
	 $ $ \\
	$\step$ $\exists\:\varepsilon_{1}>0$ und kompakte Mengen $K',L'$ mit
\begin{enumerate}
	\item $K\subset{K}'\subset{U}$, $L\subset{L}'\subset{V}$
	\item $W_{\varepsilon_1}\left(a\right)\subset{K}'$ $\forall{a}\in{K}$, $\ $
	$W_{\varepsilon_1}\left(b\right)\subset{L}'$ $\forall{b}\in{L}$	
\end{enumerate}
	\includegraphics{bild_second}\\
\textbf{\underline{Lemma 1}}: $\exists{c}>0$, s.d. 
	\[\left(1\right)\ 
	\left|\diffOpFrac{\varphi}{x}\left(x\right)\cdot\xi\right|\leq{c}\cdot\left|\xi\right|\:
	\forall\xi\in\setR^n\:\forall{x}\in{K'}\ \ 
	\]
	\[\left(2\right)\ 
	\left|\diffOpFrac{\varphi^{-1}}{y}\left(y\right)\cdot\xi\right|\leq{c}\cdot\left|\xi\right|\:
	\forall\xi\in\setR^n\:\forall{y}\in{L'}
	\]
\underline{Beweis}: $\frac{\partial\varphi_i}{\partial{x_j}}:\normalsize\:{K'}\rightarrow{\setR}$ stetig, 
	also beschränkt\\
	\[
	\Rightarrow\exists{c_{ij}}>0\hbox{, s.d. }\left|\diffOpFrac{\varphi_i}{x_j}\right|\leq{c}_{ij}\:\forall{x'}\in{K'}
	\]
	\[
	\Rightarrow\forall{\xi}\in\setR^n\hbox{ ist }\left|\diffOpFrac{\varphi}{x}\left(x\right)\cdot\xi\right|=
	\max\limits_{i=1}^{n}\left|\left\langle\diffOpFrac{\varphi_i}{x},\xi\right\rangle\right|
	\leq\underbrace{\max_{i,j=1}^{n}{c}_{ij}}_{=:c_1}\cdot\left|\xi\right|=c_1\cdot\left|\xi\right|
	\]
	$\step$ Analog: $\exists{c}_2$ mit 
	$\left|\diffOpFrac{\varphi^{-1}}{y}\left(y\right)\cdot\xi\right|\leq{c}_2\left|\xi\right|$\\
	$\step$ Setze $c:=\max\left(c_1,c_2\right)$\hspace{9cm}\qedsymbol\\% $ $ \\
\textbf{\underline{Lemma 2}}:
\begin{enumerate}
	\item $\varphi\left(W_{\varepsilon}\left(x\right)\right)\subseteq
	{W}_{c\cdot{\varepsilon}}\left(\varphi\left(x\right)\right)\:
	\forall{x}\in{K},\varepsilon\leq\varepsilon_1$ (c aus Lemma 1)
	\item $\varphi^{-1}\left(W_{\varepsilon}\left(y\right)\right)\subseteq
	{W}_{c\cdot{\varepsilon}}\left(\varphi^{-1}\left(y\right)\right)\:
	\forall{y}\in{L},\varepsilon\leq\varepsilon_1$ (c aus Lemma 1)
\end{enumerate}
\underline{Beweis}: MWS (für Abb. $\varphi:U\rightarrow\setR^n$) (vgl. An. II, §4) besagt:
	\[
	\varphi\left(x\right)-\varphi\left(x_0\right)=
	\left(\int\limits_{0}^{1}\diffOpFrac{\varphi}{x}\left(x_0+t\left(x-x_0\right)\right)dt\right)
	\cdot\left(x-x_0\right)\ \ 
	\forall{x},{x_0}\in{U}\hbox{, s.d. }\overline{xx_0}\subset{U}
	\]
	$\step$ Sei $x_0\in{K}$ und $x\in{W}_{\varepsilon}\left(x_0\right)\ \ \ \left(\varepsilon\leq\varepsilon_1\right)$\\
	$\step$ Nach Wahl von $K'$ ist ${W}_{\varepsilon}\left(x_0\right)\subset{K}'\subset{U}$\\
	\[
	\Rightarrow\ \left|\varphi\left(x\right)-\varphi\left(x_0\right)\right|\leq
	\int\limits_{0}^{1}\left|\diffOpFrac{\varphi}{x}\left(x_0+t\left(x-x_0\right)\right)\left(x-x_0\right)\right|dt
	\stackrel{L1}{\leq}\int\limits_{0}^{1}c\left|x-x_0\right|dt=c\left|x-x_0\right|\leq{c}\cdot\varepsilon
	\]
	$\step$ Also $x\in{W}_{\varepsilon}\left(x_0\right)\Rightarrow\ 
	\varphi\left(x\right)\in{W}_{c{\varepsilon}}\left(\varphi\left(x\right)\right)$\\
	$\step$ Analog (2)\hspace{9cm}\qedsymbol\\
\textbf{\underline{Lemma 3}}: Sei $K\subset\setR^n$ kompakt, $f:K\rightarrow\setR$ stetig\\
	$\step$ $\step$ $\Rightarrow\;\exists\psi{:}\ \setR_{+}\rightarrow\setR_{+}$ monoton $\nearrow$ mit 
	$\lim\limits_{t\searrow{0}}\psi\left(t\right)=0$, s.d. gilt:
	\[
	\left|f\left(x\right)-f\left(x'\right)\right|\leq\psi\left(\left|\left|x-x'\right|\right|\right)
	\ \ \ \forall{x},x'\in{K}
	\]
\underline{Beweis}: f auf $K$ stetig, $K$ kompakt $\Rightarrow$ f gleichmäßig stetig auf K, 
	d.h. $\forall\varepsilon{>}0\ \exists\delta{>}0$, s.d. gilt:
	\[
	\left|f\left(x\right)-f\left(x'\right)\right|<\varepsilon\ \forall{x},x'\in{K}\hbox{ mit }
	\left|\left|x-x'\right|\right|<\delta
	\]
	$\step$ \textbf{\underline{Def.}}: $\psi\left(\delta\right):=
	\sup\limits_{\stackrel{x,x'\in{K}}{\left|\left|x-x'\right|\right|<\delta}}
	{\left\{\left|f\left(x\right)-f\left(x'\right)\right|\right\}}$\\
	$\step$ $\psi\left(\delta\right)\geq{0}\hbox{ monoton wachsend, }
	\lim\limits_{t\rightarrow{0}}\psi\left(t\right)=0\hbox{ und:}$
	\[
	\left|f\left(x\right)-f\left(x'\right)\right|\leq\psi\left(\left|\left|x-x'\right|\right|\right)\ \ \forall{x},x'\in{K}
	\]
	\hspace{12cm}\qedsymbol\\ $ $ \\
\textbf{\underline{Zackenfunktionen}}: Definiere $z\in\Comp_C\left(\setR\right)$ durch
	\[
	z\left(t\right)=\left\{
		\begin{array}{l}
			1-\left|t\right|\\
			0
		\end{array}
	\right.
		\hbox{ für }
		\begin{array}{l}
			\left|t\right|\leq{1}\\
			\left|t\right|\geq{1}
		\end{array}
	\]
\begin{minipage}{6cm}
	\includegraphics{bild_third}
\end{minipage}
	\hspace{2cm}
\begin{minipage}{7cm}
	$ $\\
	$\int\limits_{\setR}z\left(t\right)dt=1$
\end{minipage}\\
	$\step$ $Z\in\Comp_c\left(\setR^n\right)$ sei definiert durch
	\[
	Z\left(x_1,\ldots,x_n\right):=z\left(x_1\right)\cdot\ldots\cdot{z}\left(x_n\right)
	\]
	\[
	\Rightarrow{supp}\left(Z\right)=
	\left\{x\in\setR^n\mid\left|x_\nu\right|\leq{1}\ \forall{\nu=1,\ldots,n}\right\}=W_1\left(0\right)
	\]
\textbf{\underline{Lemma 4}}: $\left|Z\left(x\right)-Z\left(x'\right)\right|\leq\left|x-x'\right|\ \ 
	\forall{x},x'\in\setR^n$\\
\underline{Beweis}: (Ind. nach n)\\
	$\step$ \textbf{I}. n=1: $\OE\left|x-x'\right|\leq{1}$, $\OE\ x,x'\in\left[-1;1\right]$\\
	$\step$ Aber dann ist $\left|z\left(x\right)-z\left(x'\right)\right|\leq\left|x-x'\right|$\\
	$\step$ \textbf{II}. $n\mapsto{n}+1$: $Z_n\left(x\right)=z\left(x_1\right)\cdot\ldots\cdot{z}\left(x_n\right)$\\
	$\step$ $\left|Z_{n+1}\left(x,x_{n+1}\right)-Z_{n+1}\left(x',{x'}_{n+1}\right)\right|=
	\left|Z_n\left(x\right)\cdot{z\left(x_{n+1}\right)}-Z_n\left(x'\right)\cdot{z\left({x'}_{n+1}\right)}\right|=$\\
	$\step$ $=\left|Z_n\left(x\right)\cdot{z\left(x_{n+1}\right)}-
	Z_n\left(x\right)\cdot{z\left({x'}_{n+1}\right)}+
	Z_n\left(x\right)\cdot{z\left({x'}_{n+1}\right)}-
	Z_n\left(x'\right)\cdot{z\left({x'}_{n+1}\right)}\right|\leq$\\
	$\step$ $\leq\left|Z_n\left(x\right)\cdot\left({z\left(x_{n+1}\right)}-{z\left({x'}_{n+1}\right)}\right)\right|+
	\left|\left({Z}_n\left(x\right)-Z_n\left(x'\right)\right)\cdot{z\left({x'}_{n+1}\right)}\right|\stackrel{IA}{<}$\\
	$\step$ $<\left|x_{n+1}-{x'}_{n+1}\right|+n\left|x-x'\right|\leq
	\left|\left(x,x_{n+1}\right)-\left(x',x'_{n+1}\right)\right|+$\\
	$\step$ $+n\cdot\left|\left(x,x_{n+1}\right)-\left(x',x'_{n+1}\right)\right|=
	\left(n+1\right)\left|\left(x,x_{n+1}\right)-\left(x',x'_{n+1}\right)\right|$\hspace{2cm}\qedsymbol\\
	 $ $ \\
	$\step$ $\forall\varepsilon>0$ sei $Z_{\varepsilon}\in\Comp_C\left(\setR^n\right)$ definiert durch
	\[
	Z_{\varepsilon}\left(x\right):=Z_n\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)
	\]
	\[
	\Rightarrow\ Supp\left(Z_{\varepsilon}\right)=W_{\varepsilon}\left(0\right)
	\]
	$\step$ $\forall{a}\in\setR^n$, $x,x_0\in\setR^n$ ist\\
	$\step$ $\left|Z_{\varepsilon}\left(x-a\right)-Z_{\varepsilon}\left(x'-a\right)\right|=
	\left|Z\left(\frac{x-a}{\varepsilon}\right)-Z\left(\frac{x'-a}{\varepsilon}\right)\right|\stackrel{L4}{\leq}
	{n}\cdot\left|\frac{x-a}{\varepsilon}-\frac{x'-a}{\varepsilon}\right|=
	\frac{n}{\varepsilon}\left|x-x'\right|$\\
	$\step$ Außerdem gilt:\\
	$	\step$ $\int\limits_{\setR^n}Z_{\varepsilon}\left(x\right)dx=\int\limits_{\setR^n}
	z\left(\frac{x_1}{\varepsilon}\right)\cdot\ldots\cdot{z}\left(\frac{x_n}{\varepsilon}\right)
	dx_{1}\cdot\ldots\cdot{d}x_n=
	\prod\limits_{i=1}^{n}\int\limits_{\setR}{z}\left(\frac{x_i}{\varepsilon}\right)dx_{i}$\\
	$\step$ Subst. $y=\frac{x_i}{\varepsilon}\Rightarrow{dy}=\frac{1}{\varepsilon}dx_i\Longrightarrow$ 
	$\int\limits_{\setR^n}Z_{\varepsilon}\left(x\right)dx=
	\prod\limits_{i=1}^{n}\int\limits_{\setR}{z}\left(y\right)\varepsilon\;{dy}=\varepsilon^n$
\end{document}