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\lhead{11. November 2004}
\chead{}
\rhead{\bfseries Vorlesung 9}

\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\renewcommand{\labelenumi}{(\arabic{enumi})}

\DeclareMathOperator{\supp}{supp}
\DeclareRobustCommand*{\Cfunc}{\mathcal{C}}

\begin{document}
\setcounter{lem}{4}
Approximation durch affine lineare Abbildungen:
\begin{eqnarray*}
   \forall x_0 \in U \textrm{ sei } \lambda_{x_0} 
   & := & \left\{ \begin{array}{ccl}
	\Rset^n & \to & \Rset^n \\
	x & \mapsto & \lambda_{x_0}(x):=\varphi(x_o) + \frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0)(x-x_0)
	\end{array}\right. \\
  & & \textrm{(affin lineare Approximation von $\varphi$ bei $x_0$)}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
    \stackrel{(1)}{\implic} \varphi(x)-\lambda_{x_0} & = & \varphi(x) - \varphi(x_0) - \frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0)(x-x_0) \\
    & \stackrel{(1)}{=} & \left( \int_0^1\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0+t(x-x_0))\ud t\right)(x-x_0) - \int_0^1\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0)\ud t (x-x_0) \\
    & = & \left( \int_0^1\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0+t(x-x_0))-\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0)\ud t\right)(x-x_0)
\end{eqnarray*}
 $ $\\
 Wendet man Lemma 3 auf die Komponenten von $\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}$ an, so erh"alt man $\forall i,j$ eine monoton steigende Funktion $\Psi_{ij}: \Rset_+ \to \Rset_+$ mit $\lim\limits_{t\to0}{\Psi_{i,j}(t)} = 0$, so dass
\begin{eqnarray*}
    & \left|\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}(x_0+t(x-x_0)) - \frac{\partial\varphi}{\partial x_j}(x_0) \right| \leq \Psi_{i,j}(||x_0+t(x-x_0)-x_0||) & \\
    & \leq \Psi_{ij}(||x-x_0||) \leq \Psi(||x-x_0||) \qquad \textrm{mit } \Psi := \max_{i,j}\Psi_{ij}
\end{eqnarray*}
\[ \implic \forall x_0 \in K \quad \forall x\in U \quad \textrm{mit } |x-x_0| \leq \varepsilon_1 \textrm{ ist} \]
\begin{eqnarray*}
    |\varphi(x) - \lambda_{x_0}(x)| & \leq & \int_0^1\left|\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0+t(x-x_0)) - \frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0) \right| \ud t |x-x_0| \\
    & \leq & \int_0^1\Psi(||x-x_0||)\ud t (x-x_0) \leq \Psi(||x-x_0||) |x-x_0| \quad \textrm{(3)}
\end{eqnarray*}

% 2. Datei:

\begin{lem}
    Sei $\varepsilon_2 := \frac{\varepsilon_1}{c} \: \implic \: \exists \Psi_1: [0,\varepsilon_2] \to \Rset^*_+$ mit $\lim_{t\to0}\Psi_1(t)=0$ s.d. gilt:\\
    $\forall a \in L, \; \forall 0<\varepsilon\leq\varepsilon_2$ gilt f"ur $h(x):=Z_\varepsilon(x-a)$
    \[ \left|\int_Uh(\varphi(x))\left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}\right|\ud x - \int_Vh(y)\ud y \right| \leq \Psi_1(\varepsilon)\cdot \varepsilon^n \]
\end{lem}
\begin{proof}
    Sei $x_0=\phi^{-1}(a) \quad \forall x \in U$ mit $|x-x_0|\leq \varepsilon_1$ gilt:
    \begin{eqnarray*}
	\left|h(\varphi(x))-h(\lambda_{x_0}(x))\right| & 
	\stackrel{(2)}{\leq} & \frac{n}{\varepsilon}|\varphi(x)-\lambda_{x_0}(x)| \\
	& \stackrel{(3)}{\leq} & \frac{n}{\varepsilon}\Psi(||x-x_0||)|x-x_0|
    \end{eqnarray*}

    Andererseits hatten wir $\forall \varepsilon \leq \varepsilon_2$:
    \begin{eqnarray*}
	\supp(Z_\varepsilon(\cdot - a)\circ \varphi) & \stackrel{L2 (1)}{\leq} &
	    W_{c\varepsilon}(x_0) \subset W_{\varepsilon_1} \subset K' \\
	\supp(Z_\varepsilon(\cdot - a)\circ \lambda_a) & \stackrel{L1 (2)}{\leq} &
	    W_{c\varepsilon}(x_0) \subset W_{\varepsilon_1} \subset K'
    \end{eqnarray*}

    $\forall x \in U:$
    \begin{eqnarray*}
	\left|h(\varphi(x)) - h(\lambda_{x_0}(x))\right| & \leq & \frac{n}{\varepsilon}\Psi(||x-x_0||)|x-x_0| \\
	& \leq & \frac{n}{\varepsilon}\Psi(c\varepsilon)\cdot c\varepsilon = nc\Psi(c\varepsilon)
    \end{eqnarray*}

    Die Funktion $\left\{\begin{array}{ccl}
	K' & \to & \Rset \\
	x  & \mapsto & \left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x)\right|
    \end{array}\right.$ ist gleichm"a"sig stetig.
    \vspace{10pt}

    L3 \implic $\exists \:\tilde{\Psi} \geq 0$ mit $\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\tilde{\Psi}(\varepsilon) = 0$ s.d.
    \[ \left| \left| \det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x)\right| - \left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x')\right|\right| \leq \tilde{\Psi}(||x-x'||) \quad \forall x,x' \in K \]

    \implic $\forall x \in U$:
    \begin{eqnarray*}
	& & \Bigg| h(\varphi(x)) \left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x)\right| - h(\lambda_{x_0}(x)) \left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0)\right|\Bigg| \\
	& = & \Bigg|h(\varphi(x))\left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x)\right| - h(\varphi(x))\left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0)\right| \\ 
	& & + h(\varphi(x))\left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0)\right| - h(\lambda_{x_0}(x))\left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0)\right|\Bigg| \\
	& \leq & h(\varphi(x))\tilde{\Psi}(||x-x_0||) + \left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0)\right| \cdot nc\Psi(c\varepsilon) \\
	& \leq & \Psi_2(\varepsilon) \quad \textrm{mit $\Psi_2$ unabh"angig von $x_0$ mit $\lim_{\varepsilon \to 0}\Psi_2(\varepsilon)=0$}
    \end{eqnarray*}

    Andererseits nach Substitutionsregel f"ur lineare Abbildungen (Aufgabe~21):
    \begin{eqnarray*}
	& & \int_Uh(\lambda_{x_0}(x))\left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0)\right|\ud x = \int_Vh(y)\ud y \\
	& \implic & \left|\int_Uh(\varphi(x))\left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x)\right|\ud x - \int_Uh(\lambda_{x_0}(x))\left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x_0)\right|\ud x\right| \\
	& & \leq \int_{W_{c\varepsilon}(x_0)}\Psi_2(\varepsilon)\ud x = \Psi_2(\varepsilon)\cdot(2c\varepsilon)^n =: \Psi_1(\varepsilon) \varepsilon^n
    \end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{lem}
    \[ \sum_{p\in \setZ^n} Z(x-p) = 1 \]
    (d.h. die Funktionen $\{Z(\cdot - p) \prop p \in \setZ^n\}$ bilden eine Teilung der $1$)
\end{lem}

% 3. Teil
\begin{lem}
  Sei $f\in \Cfunc_c(\Rset^n) \implic \forall \alpha > 0 \quad \exists \varepsilon > 0$ so dass $\forall 0 < \varepsilon \leq \varepsilon_0$ gilt:
  \[ \left|\left| f - \sum_{p\in \setZ^n}f(p\varepsilon)Z_\varepsilon(\cdot - p\varepsilon) \right|\right|_{\sup} \leq \alpha \]
  (hierbei ist $||g||_{\sup} := \sup_{x\in \Rset^n} |f(x)|$ Supremumsnorm)\\
  Da $f$ kompakten Tr"ager hat, ist die Summe endlich.
\end{lem}

\begin{proof}[Beweis der Substitutionsregel]
F"ur $\varepsilon > 0$ setze $f_\varepsilon(y):=\sum\limits_{p\in \setZ^n}f(p\varepsilon)Z_\varepsilon(y-p\varepsilon)$\\
  Lemma 7 \implic $\lim\limits_{\varepsilon\to 0}f_\varepsilon = f$ gleichm"a"sig
  \[ \supp f_\varepsilon \subseteq L' \quad \forall \varepsilon \leq \varepsilon' \quad \textrm{(nach Def)} \]
  \implic $\int_\Rset$ mit $\lim\limits_{\varepsilon\to0}$ vertauschbar(vgl. Analysis I f"ur 1 Ver"anderliche und \S 8 f"ur das Lebesque-Integral)

  \[ \textrm{Also} \quad \lim\limits_{\varepsilon\to 0} \int_V f_\varepsilon(y)\ud y = \int_V f(y) \ud y \]
  \begin{eqnarray*}
    \textrm{Setze} \quad g(x) & := & f(\varphi(x)) \cdot \left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x)\right| \in \Cfunc_c(\Rset^n) \\
    g_\varepsilon(x) & := & f_\varepsilon(\varphi(x)) \cdot \left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}\right|
  \end{eqnarray*}
  Lemma 7 \implic $g_\varepsilon \xrightarrow{\varepsilon\searrow0}$ gleichm"a"sig
  \[ \implic \lim_{\varepsilon\searrow0} \int_U g_\varepsilon(x)\ud x = \int_U g(x)\ud x \]
  \[ \textrm{Sei } \Delta_\varepsilon := \int_U g_\varepsilon(x)\ud x - \int_V f_\varepsilon(y)\ud y \]
  gen"ugt zu zeigen: $\lim_{\varepsilon\searrow0} \Delta_\varepsilon = 0$  (*)
  \[ \textrm{denn dann ist } \int_U f(\varphi(x))\left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}\right|\ud x = \lim_{\varepsilon\searrow 0} \int_U g_\varepsilon(x)\ud x = \lim_{\varepsilon\searrow0} \int_V f_\varepsilon(y)\ud y = \int_V f(y)\ud y \]
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von (*)]
  Setze $A_{p\varepsilon} := \int_U Z_\varepsilon(\varphi(x)-p\varepsilon)\left|\det\frac{\ud\varphi}{\ud x}(x)\right|\ud x - \int_V Z_\varepsilon(y-p\varepsilon)\ud y$
  \[ \implic \Delta_\varepsilon = \sum_{p\in\setZ^n} f(p\varepsilon)A_{p\varepsilon} \]
  \[ \textrm{Lemma 5} \implic |A_{p\varepsilon}| \leq \Psi_1(\varepsilon)\cdot\varepsilon^n \]
  $L$ kompakt \implic $L$ enthalten in achsenparallelen W"urfel der Seitenl"ange $s$ um $0$.\\
  \implic $|p|\varepsilon \leq \frac{s}{2}$ falls der Summand in $\Delta_\varepsilon$ vom Index $p \neq 0$ ist\\
  \implic Anzahl der von $0$ verschiedenen Summanden in $\Delta_\varepsilon$ ist $\leq \left(\frac{s}{\varepsilon}+1\right)^n$
  \[ \textrm{Sei} \quad M:=\sup_{y \in V} |f(y)| \quad (<\infty) \]
  \begin{eqnarray*}
    |A_\varepsilon| & \leq & \sum_{p\in\setZ^n} |f(p\varepsilon)||A_{p\varepsilon} \leq \left(\frac{s}{\varepsilon}\cdot M\cdot\Psi_1(\varepsilon)\cdot\varepsilon^n\right) \\
      & = & (s+\varepsilon)^n \cdot M \cdot \Psi_1(\varepsilon) \to 0 \quad \textrm{f"ur} \varepsilon \to 0
  \end{eqnarray*}
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Lemma 7]
  $f$ hat kompakten Tr"ager \implic $f$ gleichm"a"sig stetig.
  \[ \forall \alpha > 0 \exists \delta > 0 \quad \textrm{so dass} \quad |f(x) - f'(x)| < \alpha \quad \forall x,x' \in \Rset^n \textrm{mit } ||x-x'|| < \delta \]
  \[ \textrm{sei } \varepsilon_0 := \frac{\delta}{\sqrt{n}} \qquad \textrm{sei } \Delta(x):=f(x)-\sum_{p \in \setZ^n} f(p\varepsilon)Z_\varepsilon(x-p\varepsilon) \]
  \[ \textrm{zu zeigen: } \forall x \in \Rset^n \textrm{ ist } |\Delta(x)| < \alpha \quad \forall 0 < \varepsilon < \varepsilon_0 \]
  \[ \textrm{B: } \sum_{p\in\setZ^n} Z_\varepsilon(x-p\varepsilon) = \sum_{p\in\setZ^n} Z\left(\frac{x-p\varepsilon}{\varepsilon}\right) = \sum_{p \in \setZ^n} Z\left(\frac{x}{\varepsilon} - p\right) \stackrel{L. 6}{=} 1 \]
  \[ \implic \Delta(x) = \sum_{p\in\setZ^n} (f(x)-f(p\varepsilon))Z_\varepsilon(x-p\varepsilon) \]
  F"ur $x$ fest sei $M_x:=\{ p\in\setZ^n \prop x \in \supp(Z_\varepsilon(\cdot - p\varepsilon)) \}$ \\
  $\forall p \in M_x$ ist $\left|\frac{x-p\varepsilon}{\varepsilon}\right| \leq 1$ (Maximumsnorm)
  \begin{eqnarray*}
    & \equiv & \left|\left| \frac{x-p\varepsilon}{\varepsilon}\right|\right| \leq \sqrt{n}\left|\frac{x-p\varepsilon}{\varepsilon}\right| \leq \sqrt{n} \\
    & \equiv & ||x-p\varepsilon|| \leq \varepsilon \sqrt{n} \leq \varepsilon_0 \sqrt{n} = \delta \\
    & \implic & |f(x)-f(p\varepsilon)| \leq \alpha \\
    & \implic & \Delta(x) \leq \sum_{p\in M} |f(x)-f(p\varepsilon)| Z_\varepsilon(x-p\varepsilon) \leq \alpha \cdot \underbrace{\sum_{p \in M} Z_\varepsilon(x-p\varepsilon)}_{=1} = \alpha
  \end{eqnarray*}
\end{proof}
  

\end{document}